Komplexní modul
Komplexní modul pružnosti E(iω) je poměr fázorů mechanického napětí σ(iω) a relativní deformace ε (iω) (viz Dodatek).
Imaginární složka komplexního modulu pružnosti se nazývá loss modulus EL(ztrátový modul) a určuje energii, která se při zatěžování harmonickým mechanickým namáháním o frekvenci ω přemění v teplo. Z obr. 1 plyne vztah:
kde úhel φ je fázový posun mezi harmonickými průběhy napětí a relativní deformace.
Platí také:
kde σ0 a ε0jsou amplitudy harmonických průběhů napětí a deformace.
Reálná část komplexního modulu pružnosti se nazývá storage modulus ES (konzervativní modul), který určuje konzervativní energii, která se transformuje mezi elastickou a setrvačnou složku energie bez ztrát.
Platí, analogicky jako u ztrátového modulu:
a také:
Poměr amplitud σ0 a ε0 je absolutní hodnota komplexního modulu:
Obr. 1. Fázorové zobrazení komplexního modulu
Komplexní modul lze určit na základě měření závislosti mezi harmonickými průběhy mechanického napětí a relativní deformace.
Harmonický průběh mechanického napětí (obvykle se jedná o vstupní veličinu) nastavíme takto:
Harmonický je i průběh relativní deformace (jedná se o výstupní veličinu, tedy odezvu, kterou změříme).
Můžeme postupovat například takto:
1) Z průběhů podle (7) a (8) určíme ztrátový úhel φ.
2) Určíme poměr amplitud σ0 ku ε0 (tedy absolutní hodnotu komplexního modulu).
3) Podle vztahu (5) vypočteme storage modulus.
4) Podle vztahu (2) určíme loss modulus.
Tento postup je v souladu s normou: ISO 6721-1: 2011(E)
Komplexní tuhost
Komplexní tuhost charakterizuje těleso či soustavu těles jako celek. Jedná se o obecnější charakteristiku, než je komplexní modul. Teorie je však v hlavních směrech stejná.
Komplexní tuhost S(iω) je poměr fázorů síly F(iω) a deformace L (iω).
Imaginární složka komplexní modulu pružnosti SIMurčuje energii, která se při zatěžování harmonickým mechanickým namáháním o frekvenci ω přemění v teplo Z obr. 2 plyne vztah:
kde úhel φ je fázový posun mezi harmonickými průběhy napětí a relativní deformace.
Platí také:
kde F0 a L0jsou amplitudy harmonických průběhů síly a deformace.
Reálná část komplexní tuhosti určuje konzervativní energii, která se transformuje mezi elastickou a setrvačnou složku energie bez ztrát.
Analogicky jako u imaginární části, platí pro reálnou část:
a také:
Poměr amplitud F0 a L0 je absolutní hodnota komplexní tuhosti:
Obr. 3. Fázorové zobrazení komplexního tuhosti
Komplexní tuhost lze určit na základě měření závislosti mezi harmonickými průběhy sily a deformace.
Harmonický průběh síly zpravidla nastavíme takto
Harmonický průběh deformace (odezvu) změříme
Můžeme postupovat například takto:
1) Z průběhů podle (15) a (16) určíme ztrátový úhel φ.
2) Určíme poměr amplitud F0 ku L0.
3) Podle vztahu (13) vypočteme reálnou část komplexní tuhosti.
4) Podle vztahu (11) určíme imaginární část komplexní tuhosti.
Dodatek- fázory
V případě lineárních systémů, u nichž jsou vztahy mezi veličinami popsány lineárními diferenciálními rovnicemi s konstantními parametry, mají odezvy na harmonicky se měnící vstupní veličinu rovněž harmonický průběh. V těchto případech lze výpočty a odvození zjednodušit pomocí fázorové reprezentace studovaných veličin.
Definiční vztah pro fázor
Harmonicky se měnící veličině x(t) = X cos (ω t + φ) přiřazujeme komplexní číslo X(iω), které označujeme jako fázor. Fázory jsou veličiny měnící se s časem (rotující v rovině komplexních čísel).
kde φ = iωt+φ0.
Pro názornost příklad: Nechť veličina u(t) má časový průběh u(t) = U cos ω t. Fázorem rozumíme amplitudu U tohoto harmonického průběhu.
Protože platí tzv. Eulerův vztah:
lze definiční vztah pro fázor zapsat také:
Z Eulerova vztahu plynou též vztahy
Ilustrace k pojmu fázor
Názorně si lze interpretaci fázorů představit tak, že fázor je vektor rotující s úhlovou rychlostí ω proti směru hodinových ručiček. Absolutní hodnota fázoru (délka d) odpovídá amplitudě harmonického pohybu:
Reálná část fázoru Re je absolutní hodnotou fázoru (délka) násobená cos φ, imaginární část Im je absolutní hodnotou fázoru násobená sin φ.
Násobení fázoru X konstantním komplexním číslem Z (iψ) vede k fázoru Y podle vztahu:
Z (iψ) není funkcí času a není tedy fázor.
Fázor Y(iω) je proti fázoru X(iω) posunut o úhel ψ. Absolutní hodnotu fázoru Y (amplitudu), lze určit tedy na základě následujícího vztahu: