Modely s rozloženými parametry

 

Úvod

V reálných tělesech jsou základní složky chování (elastické, viskózní a setrvačné) kontinuálně rozloženy v celém tělese. Reálná tělesa jsou tedy systémy s rozloženými parametry. Reologické modely jsou naproti tomu založeny na předpokladu, že elastické, viskózní a setrvačné vlastnosti lze soustředit do konečného počtu dílčích (základních) reologických těles, tedy do těles Hookeových, Newtonových a setrvačných. Reologické modely jsou tedy systémy se soustředěnými parametry.

Z těchto důvodů klasické reologické modely uspokojivě vystihují jen chování těles relativně malých rozměrů při relativně nízkých frekvencích zatěžování. Je proto třeba hledat univerzálnější modely, které by respektovaly kontinuální rozložení parametrů v celém tělese. Tedy modely s rozloženými parametry. Pro srovnání viz základní informace o teorii kontinua (http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_mechanics).

Jednou z hlavních předností modelů s rozloženými parametry je, že umožňují popsat chování rozměrných objektů, jako dlouhých nosníků a lan. Poskytují metodiku kvantitativního řešení problematiky šíření mechanické vlny v elastických i viskoelastických tělesech. Následně umožňují řešení prakticky velmi významných otázek spojených s postupy, jak omezit či eliminovat vlastní kmity mechanických soustav.

Je otázka, při jakých délkách tyče již musíme přejít od modelů se soustředěnými parametry k modelům s parametry rozloženými. Orientační podmínkou pro přijatelnou přesnost při použití klasických reologických modelů je, aby délka tyče byla mnohem menší, než je vlnová délka mechanické vlny.

Uveďme modelový příklad pro elastickou tyč z plastu o hustotě 2000 kg/m3  a Youngově modulu 20 MPa. Při frekvenci zatěžování 1 Hz je vlnová délka 100m. Při běžných délkách tyče (řekněme do 1m) vystačíme s modely se soustředěnými parametry. Při frekvenci 100 Hz je však již vlnová délka 1m a mechanické chování se již musí řešit pomocí modelů s rozloženými parametry. Vlnová délka je přímo úměrná frekvenci, proto také platí, že vlnový charakter chování je třeba brát v úvahu při vysokých frekvencích zatěžování a při rychlých změnách zatěžování. U viskoelastických těles ovlivňuje šíření vlny ještě viskózní složka.

Použití modelů s rozloženými parametry má tedy zřejmý praktický význam a budeme se proto těmto modelům věnovat podrobněji.

 

Podélné namáhání

 

Definice modelu

Budeme se zabývat modelem mechanického chování isolované homogenní viskoelastické tyče v jednoosém normálovém namáhání podle obr. 1.

Obr. 1. Princip modelu

 

Obr. 2 Mechanické schéma modelu

 

 

Princip modelu

Viskoelastická tyč je složena z velkého počtu stejných segmentů. Na vstup segmentu působí časově se měnící síla FC. V případě homogenní tyče stálého průřezu má každý segment stejnou hmotnost M. Síla FC je součet síly Fa s nutné k vyvolání pohybu spojení tyče s dalším segmentem a „zbytku“ tyče (obr. 2, větev „a“) a síly setrvačné Fb, (obr. 2, větev „b“) nutné k vyvolání pohybu hmotnosti (setrvačného členu) segmentu. Celková deformace ΔXj segmentu a zbytku tyče je součet deformace segmentu a „zbytku“ tyče.

Předpokládáme, že pohyb segmentu není ovlivňován okolím a závisí pouze na pohybu segmentu a jeho interakcí se zbytkem tyče.

Celková síla „před segmentem“.

Celková síla FC „před segmentem“, je součet síly Fa pohybující zbytkem tyče (síla ve větvi „a“ v obr. 2) a síly Fb nutné k pohybu setrvačného členu segmentu (síla ve větvi „b“ v obr. 2).

                       (1)

Protože se dále budeme zabývat harmonickými průběhy proměnných, je výhodné využít Fourierovu transformaci. Fourierova transformace vztahu (1) vede k vztahu (1a).

          (1a)

Jedná se v běžné terminologii o paralelní spojení větve „a“, a „b“. U paralelního spojení jsou deformace shodné, síly se sčítají. Setrvačný člen (M) se pohybuje stejně jako větev „a“ – viz obr. 2.

Síla ve „zbytku“ tyče.

Síla Fa(iω) ve „zbytku“ tyče, tj. ve větvi „a“, je součin rychlosti va(iω)  pohybu větve „a“ a její mechanické impedance Za(iω):

 

   (2)

 

Mechanická impedance větve a:

Protože segment předpokládáme velmi krátký, síly v obou členech větve „a“ jsou shodné a tvoří tedy sériový systém. U sériového systému se sčítají deformace. Sčítají se proto převrácené hodnoty impedancí.

     (3)

kde Za je impedance větve „a“, Zj  je impedance „spojení“, Zz je impedance „zbytku tyče“.

 

Síla v setrvačném členu

Podle 2. Newtonova zákona platí:

                                 

Pro rychlost deformace platí v časové oblasti:

                                                                

                                                            

Ve Fourierově transformaci pro rychlost deformace platí:

                                             

Ve Fourierově transformaci tedy pro sílu Fb platí:

  (4)

 

Mechanická impedance větve „b“ - setrvačného členu

       (4a)

 

Poznámka: Pro zjednodušení nebudeme proměnnou iω dále psát.

 

Rychlost pohybu větví je shodná:

                                                              

těžiště se pohybuje shodně s levým okrajem segmentu

 

Pohyb větve „a“:

            (5)

Deformace segmentu a zbytku tyče, i jejich rychlosti, se sčítají.

 

Síla ve větvi „a“ (ve „zbytku“ tyče i ve „spojení“)

Síly jsou shodné, jedná se o sériový systém:

   (6)

Dál do zbytku tyče se přenáší síla Fa.

 

 

Model se sériovým spojením segmentů a zbytku tyče (Maxwellovo spojení)

Struktura modelu

Dále se budeme zabývat situací, kdy spojení segmentu se zbytkem tyče je dáno sériovou kombinací elastického a viskózního členu. Obrázek 2 pak lze překreslit do následujícího reologického schématu.

 

Obr. 3 Reologické schéma sériového modelu

Mechanické chování setrvačného členu M:    

                                 

Mechanické chování Hookeova (elastického) členu H:  

                 

Mechanické chování Newtonova (viskózního) N členu:                 

 

Vlnové rovnice podle mechanického modelu s Maxwellovým typem spojení:

Vlnové rovnice systému podle obr. 3 lze odvodit analogickým postupem, jakým byly odvozeny telegrafní rovnice pro kabelová vedení v elektronice. (http://en.wikipedia.org/wiki/Telegrapher's_equations). Vyjdeme přitom z definičních rovnic pro chování setrvačného, Hookeova a Newtonova tělesa a dostáváme následující konstitutivní diferenciální rovnice.

 

Vlnové rovnice pro podélnou vlnu

 

Pro tyč jednotkového průřezu platí:

                (7)

 

                                                                                                                               (8)

kde, EM je tuhost tělesa jednotkové délky a jednotkového průřezu (modul pružnosti v tahu), ρ je hustota, η je Newtonův koeficient tělesa jednotkové délky a jednotkového průřezu (viskózní koeficient) v podélném směru.

Pro tyče průřezu S, je třeba nahradit parametry v rovnicích (7) a (8) takto:

                                       

 

Vlnová mechanická impedance (impedance velmi dlouhé tyče jednotkového průřezu):

 

      (9)

Pro tyč o příčné ploše S platí:

              (9b)

 

Rychlost šíření vlny

         (10)

kde ω je úhlová rychlost.

Pro koeficient α platí:

       (11)

Komentář: Rychlost šíření vlny nezávisí na průřezu S tyče.

 

Tlumení vlny podél nekonečné tyče (postupná vlna)

 

Koeficient tlumení:

                                                   (12)

kde β pro tyč jednotkového průřezu je:

                  (13)

Výpočty pro tyč o průřezu S je třeba provádět tak, že parametry ve vztahu (13) přepočteme takto.

                                       

 

Poznámky:

1) Vlnová impedance a tlumení závisí na S.

2) Rychlost šíření vlny nezávisí na ploše S

3) Postupná vlna se šíří u nekonečné tyče a u tyče zakončené vlnovou impedancí. V ostatních případech dochází na zakončení k odrazu vlny. Šíří se následně i odražená vlna a výsledné vlnění může mít charakter stojatých vln.

 

Impedance tyče při pevném zakončení

 

Deformace zakončení je nulová, síla působící v zakončení je maximální.

       (14)

kde je délka tyče (od pevného zakončení).

Pro koeficient γ platí u tyče (libovolného průřezu):

        (15a)

                                                                                                                (15b)

                                                                                                                (15c)

Poznámky:

Hyperbolické funkce viz:

 http://cs.wikipedia.org/wiki/Hyperbolick%C3%A1_funkce,

http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicCotangent.html  

Výpočet coth z Laurentovy řady:

 

Impedance tyče při volném zakončení

 

Deformace zakončení je maximální, síla působící v zakončení je nulová.

         (16)

Poznámky:

Výpočet tanh z Taylorovy řady:

 

Model s paralelním spojením segmentů (Voigtovo spojení)

Obr. 4 Reologické schéma paralelního modelu

 

Postup je analogický, jako v případě sériového spojení. Konstitutivní diferenciální rovnice tohoto modelu, analogické k rovnicím (7) a (8), jsou však složitější a odvodit vztahy pro rychlost a tlumení vlny je obtížné.

Lze však postupovat tak, že Voigtův model spojení převedeme na Maxwellův. Platí převodní vztahy:

 

       (16)

,                                                                                                                           (17)

kde ω je úhlová rychlost, HV je Hookeův koeficient pro Voigtův model, NV Newtonův koeficient pro Voigtův model, HM je Hookeův koeficient pro Maxwellův  model, NM Newtonův koeficient pro Maxwellův model.

Pokud však jsou k dispozici parametry Voigtova modelu, což je běžná situace, a z rovnic (16) a (17) chceme určit parametry HM a NM je situace obtížnější. V některých případech nelze vůbec řešení nalézt. Převody jsou však jednouché pro časté situace, kdy poměr

 

 je větší než 10. Pak platí:

           (18a)

                                                       (18b)

a

           (19a)

                   (19b)

Poznámky: Převodní vztahy (16) a (17) jsou odvozeny na základě podmínky rovnosti mechanických impedancí obou modelů.

 

Diskuze

Model se sériovým spojením segmentů je založen na Maxwellově modelu spojení segmentů. Spojení segmentů tedy odpovídá chování viskoelastické kapaliny. Deformační odezvy modelu na skok síly obsahují trvalý růst deformace, tedy „tok“, a také trvalou deformaci při odezvách na obdélníkový impuls síly. Creep curves také obsahují trvalou deformaci. Tento model tedy není vhodný pro aproximaci chování těles (a materiálů), které mají charakter viskoelastických pevných těles v situacích, kdy je trvalá deformace (při cyklickém zatěžování) nulová. V tomto případě je třeba aproximovat spojení Voigtovým modelem (model s paralelním spojením segmentů).

 

 

Příčné namáhání

 

Příčná vlna se obecně skládá z vlny ve smyku a v ohybu. Smyková vlna je typická pro rozměrná tělesa a pro krátké tyče. Smyková vlna odpovídá akustické vlně.

Ohybová vlna je naopak převažující u kmitů dlouhých tyčí. Amplituda ohybových kmitů je větší, než amplitudy smykových kmitů. Rychlost šíření ohybové vlny je menší, než rychlost šíření smykové vlny.

 

Vlnové rovnice pro příčnou vlnu ve smyku (Maxwellův model)

 

Postup je shodný jako v případě podélné vlny. Uvedeme zde proto jen základní rozdíly.

 

Pro tyč jednotkového průřezu platí:

    (20)

 

                                                                                                                      (21)

kde, GM  je modul pružnosti ve smyku, ρ je hustota, η* je tečná viskozita.

 

Rychlost šíření příčné vlny

          (22)

kde ω je úhlová rychlost.

Pro koeficient α platí:

 

         (23)

 

Tlumení příčné vlny podél nekonečné tyče (postupná vlna)

 

Koeficient tlumení:

           (24)

kde β pro tyč jednotkového průřezu je:

        (25)

 

Protože  je rychlost šíření příčné smykové vlny menší než rychlost šíření podélné vlny. Menší je také tlumení.

Další postup, včetně přechodu na Voigtův model, je shodný s řešením problematiky podélné vlny.

 

Šíření ohybové vlny

 

Postup řešení je analogický, jako při namáhání v tahu či smyku. Je však komplikováno tím, že vztahy mezi tuhostmi v ohybu a rozměry tělesa jsou jiné než obdobné vztahy při normálovém či smykovém namáhání. Podobně je tomu i u viskózních koeficientů.

Prakticky je však možné postupovat tak, že parametry v ohybu převedeme na parametry v tahu a dále postupujeme tak, jako v modelu pro namáhání v tahu.

 

Další modely s rozloženými parametry

 

Obecně se chování segmentu mohou ovlivňovat další kombinace základních reologických těles. Reálně padá v úvahu situace, kdy je pohyb setrvačného členu ovlivňován nejen interakcí se zbytkem tyče, ale i interakci s okolím tyče. Pokud se zabýváme chováním isolované tyče, padají reálně v úvahu jen výše uvedené kombinace.