Resonanční měření viskoelasticity

 

Úvod

Resonanční metody se používají v řadě fyzikálních měření (např. NMR, EPR, torsní oscilaci a mnohých dalších). Měření založená na resonanci měřeného systému bývají ve srovnání s přímými metodami citlivější, a často i přesnější. Resonanční metody lze však použít jen v případě, kdy dochází k resonanci měřeného systému. Tato skutečnost představuje zásadní problém pro jejich aplikaci při měření viskoelasticity.

Obecně přijímaná definice viskoelasticity (http://en.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticity) uvádí, že „viskoelasticita je vlastnost materiálu vyznačující se tím, při namáhání materiál vykazuje pružné i viskózní vlastnosti“. Jinými slovy, mechanické chování viskoelastických systému je dáno kombinací pružných a viskózních interakcí. Konstitutivní rovnice takovýchto systému mají (po jednorázovém vnesení energie do systému) principiálně pouze neperiodická řešení. Takovéto systémy tedy nemají vlastní kmity a k jejich resonanci nedochází.

Jednoduchá cesta jak se vyhnout tomuto omezení spočívá ve spojení měřeného viskoelastického tělesa s dalším přídavným (dostatečně tuhým) tělesem o hmotnosti dostačující k tomu, aby pohybová rovnice celého systému (měřené těleso – přídavné těleso) měla periodické řešení. Takový systém pak na určitých frekvencích resonuje.

Tato metoda je podstatou měření pružných i viskoelastických parametrů těles při torzním namáhání (metoda torzních kmitů). Je ji však možné použít i univerzálněji, například pro měření při namáhání v tahu a ohybu.

 

Teorie

Kelvinovo těleso (Voigtův model) s přídavným setrvačným tělesem

 

Obr.1 Voigtův model (a) a Voigtův model (b) s přídavným setrvačným tělesem - reologické schémata

 

Rovnováha sil pro Voigtův model s přídavným setrvačným tělesem

(1)

Pohybová rovnice pro Voigtův model s přídavným setrvačným tělesem

(2)

kde H je Hookeův koeficient, L je deformace, N je Newtonův koeficient, M je hmotnost setrvačného tělesa.

V případě rovnoměrné homogenní tyče namáhané normálově platí

(3)

kde σ je mechanické napětí (stress), ε je relativní deformace (strain), E je Youngův modul,  ηN je viskosita, L0 je délka tyče A0 je příčná plocha tyče.

Jednoduchou úpravou rovnice (3) dostáváme vyjádření pohybové rovnice na základě  materiálových parametrů (4)

(4)

kde ρ je hustota materiálu tyče.

Platí následně

(5)/(6)

 

Vlastní kmity

Laplaceova transformace rovnice (2) vede k rovnici (7)

 

  (7)

Předpokládejme, že energie je do systému vnesena krátkým impulsem ΔF.

 

Pro impuls ΔF v Laplaceově transformaci přechází rovnice (7) na rovnici (8)

  (8)

Pro deformaci v (Laplaceově transformaci) platí

  (9)

K resonanci dochází, pokud je splněna následující podmínka

(10)

Při splnění předcházející podmínky je časový průběh deformace dán vztahem (11)

  (11)

kde

  (12)

a

  (13)

 

Komplexní tuhost a komplexní modul Kelvinova tělesa

 

Komplexní tuhost

Komplexní tuhost S(iω) Voigtova modelu (Kelvinova tělesa) je dána následujícím vztahem

(14)

kde i je komplexní jednotka.

 

Komplexní modul

Komplexní modul E(iω) Voigtova modelu je dán následujícím vztahem

(15)

Reálná část komplexního modulu je tzv. storage modulus; imaginární část komplexního modulu je tzv.  loss modulus pro Kelvinova tělesa.

 

Ztrátový činitel (loss factor)

Ztrátový činitel u Kelvinových těles je dán následujícím vztahem

 

  (16)

kde φ je fázový posun mezi reálnou a imaginární části modulu.

 

Řešení inversního problému

Řešení inversního problému spočívá v určení parametrů H a N Kelvinova tělesa na základě výsledků resonančních měření. Primární údaje z resonančních měření jsou průběhy kmitů podle vztahu (11). První krok analýzy spočívá v určení činitele tlumení α a frekvence ω. Následně jsou vypočteny parametry N a H podle vztahů (12) and (13). Z těchto vztahů lze vypočítat i komplexní tuhost a komplexní modul s použitím vzorců (14) and (15).

 

Obr.2 Voigtův model s přídavným setrvačným tělesem – normálové namáhání

 

Reálné viskoelastické těleso s přídavným setrvačným tělesem

Pohybová rovnice

Pro lineární dynamické systémy obecně platí

(17)

kde y(t) je vstupní veličina, x(t) je výstupní veličina, a a b jsou konstantní koeficienty, i a j jsou stupně derivací.

Pro reálná lineárně viskoelasická tělesa s přídavným setrvačným tělesem platí rovnice (18)

(18)

kde L je deformace, F je síla.

 

Pro komplexní tuhost tedy platí

(19)

Resonance nastává v lokálních minimech funkce (19).

Prakticky lze v průbězích kmitů nalézt jen jedno minimum, protože vliv dalších minim na deformaci je zanedbatelný.

Lze tedy postupovat podobně jako v případě Kelvinova tělesa. Rozdíl je však v tom, že resonanční frekvence závisí na hmotnosti M a následně nalezené koeficienty H a N mohou být frekvenčně závislé. Pokud tedy měníme resonanční frekvence pomocí změn hmotnosti setrvačného tělesa, můžeme frekvenční závislost koeficientů H a N určit.

 

Přístroje pro měření v tahu

 

Principy konstrukce přístroje pro měření v tahu

 

Obr. 3 Příklad konstrukce přístroje pro měření v tahu s kompenzací vlivu tíhy setrvačného členu

 

Uspořádání měřicí aparatury podle obr. 2 není u reálných těles dostatečně universální. Základní problém spočívá v tom, že setrvačné těleso působí na měřený vzorek i svojí tíhou. Výsledkem je „předpětí“ vzorku vlivem tíhy setrvačného tělesa, což může způsobovat problémy a omezovat aplikovatelnost metodiky. Tento nedostatek řeší uspořádání měřicí aparatury podle obr. 3.

V provedení podle obr. 3 je setrvačné těleso nad měřeným vzorkem, jeho tíha je kompenzovaná kalibrovanou pružinou. Zároveň lze deformací pružiny nejen kompenzovat tíhu setrvačného tělesa, ale i volit klidové namáhání vzorku. Tato možnost je důležitá u těles, která se nechovají lineárně případně u těles kde není klidová délka dobře měřitelná.

 

Použité vztahy

Pro frekvenci kmitů platí

(20)

kde HC je tuhost pružiny.

Pro tlumení kmitů platí

  (21)

Komplexní tuhost lze vypočítat podle vztahu (22)

(22)

Pro předpětí vzorku platí

  (23)

kde F0 je předpětí vzorku, L0 je klidová deformace pružiny, g je gravitační zrychlení.

 

Závěr

Resonanční metoda měření viskoelasticity představuje alternativu k přímému měření. Přímá měření jsou založena na porovnávání amplitudy a fáze harmonických průběhů namáhání a deformace, přístroje využívající přímou metodu se obvykle označují jako dynamické mechanické analyzátory DMA).

Přístroje využívající resonanční metodu jsou, ve srovnání s DMA jednodušší jak z hlediska technického provedení tak uživatelsky. Jsou také významně levnější. Principiálně jsou i citlivější a přesnější.

 

Literatura

Brož J. et al.: Základy fyzikálních měření - II B, SPN, Praha, 1974

Ďoubal S. a kol.: Mechanické chování viskoelastických těles, teorie a měření, Karolinum, Praha, 2011

Horák Z. et al.: Technická fyzika, SNTL, Praha, 1961

Kubík S. et al.: Teorie regulace I - lineární systémy, SNTL, Praha, 1968

Kubík S. et al.: Teorie regulace II - nelineární systémy, SNTL, Praha, 1969

Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968

http://en.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticity