Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů

Historie

Robert Hooke formuloval zákon popisující vztah mezi silou F a deformaci ΔL u pružných (elastických) těles již v roce 1660. Původní formulace Hookeova zákona byla

kde H je konstanta. Tento vztah popisuje chování lineárně elastického tělesa. Jinak řečeno, lineárně elastické těleso se chová jako pružina.

V současné době se častěji uvádí Hookeův zákon pro lineárně elastické materiály. Jedná se o relace mezi mechanickým namáháním (σ) a relativní deformaci (ε). Při namáhání v tahu platí vztah:

kde E je Youngův modul pružnosti.

Koncem devatenáctého a začátkem dvacátého století se fyzikové (Kelvin, Maxwell, Boltzman a další) zabývali existenci toku (creepu) u kovů, gumy a skla. Ukázalo se, že při dynamickém namáhání je třeba brát v úvahu i tzv. viskózní vlastnosti těles resp. materiálů.

Jako aproximaci dynamického chování viskoelastických těles byl navržen tzv. Voigtův model (Kelvinovo těleso), popsaný rovnicí:

 

kde N je tzv. Newtonův koeficient. (Viz též: http://en.wikipedia.org/wiki/Kelvin%E2%80%93Voigt_material).

Tento vztah popisuje za určitých podmínek mechanické chování některých lineárně viskoelastických těles. Pro materiály platí pro Voigtův model při namáhání v tahu vztah:

kde η je viskózní koeficient, často označovaný jako viskozita. Viskózní koeficient však není totožný s viskozitou podle Newtonova vztahu pro viskozitu, protože namáhání je v normálovém směru (nikoli tečné, jako u klasické definice viskozity).

Voigtův model se však při podrobnějším studiu chování viskoelastických těles ukázal málo univerzální. Mechanické chování řady těles se lišilo od chování Voigtova modelu. Byla proto postupně navržena řada dalších tzv. reologických modelů (viz  dále a také http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_linear_solid_model). Vždy se jednalo o kombinace tzv. Hookeových těles (chovajících se jako pružiny) a Newtonových těles (chovajících se jako tlumiče). Všechny tyto reologické modely lze považovat za speciální případy tzv. zobecněného Voigtova modelu.

 

Viskoelasticita

Viscoelasticita se zpravidla definuje jako vlastnost materiálů (a těles), spočívající v tom, že deformační odezva na vnější síly je jak elastická, tak i viskózní (http://en.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticity).

Souvislost s reologickými model (viz výše) je zřejmá. Prakticky je velmi důležité, že viskoelasticita se projevuje pouze při dynamickém zatěžování. V ustálených stavech (tj. při statickém zatěžování) se viskoelastická tělesa i materiály chovají elasticky. Opačně také platí, že reálná tělesa se chovají vždy více či méně viskoelasticky. Při popisu dynamického mechanického chování reálných těles proto nevystačíme pouze s elastickými charakteristikami, jako jsou například moduly pružnosti.

 

Klasické reologické modely

Klasické reologické modely vycházejí z představy, že chování těles lze nahradit chováním systému složeného z „pružin“ a „tlumičů“, tedy z Hookeových a Newtonových těles.

 

Hookeovo těleso

Hookeovo těleso reprezentuje elastickou složku celkového chování tělesa. V reologických schématech se znázorňuje symbolem pružiny. Síla způsobí v Hookeově tělese deformaci L

 


Obr. 1 Hookeovo těleso: symbol a základní rovnice mechanického chování

Mechanické chování Hookeova tělesa se často vyjadřuje formou materiálových konstant podle vztahu:

 

                                                                                                   (1)

kde E je modul pružnosti

 

 

Newtonovo těleso

Newtonovo těleso reprezentuje viskózní složku celkového chování tělesa. V reologických schématech se znázorňuje symbolem tlumiče či pístu.

Obr. 2 Newtonovo těleso: symbol a základní rovnice mechanického chování

 

Mechanické chování Newtonova tělesa se často vyjadřuje formou materiálových konstant podle vztahu:

 

                                                                                  (2)

kde η je (nepřesně) označovaná jako viskozita.

Nejedná se o viskozitu shodnou s Newtonovým zákonem pro viskozitu, protože v případě Newtonova tělesa je namáhání v normálovém směru, kdežto v Newtonově zákonu pro viskozitu je namáhání tečné.

 

Voigtův model

Voigtův model je doposud nejčastěji používaný model mechanického chování pevných viskoelastických těles.

 

Obr. 3 Voigtův model –Kelvinovo těleso

 

Pro vztahy mezi silami a deformacemi Voigtova modelu platí:

 

                                                                                            (3)

Odezva na impuls síly Voigtova modelu je:

                                                                                                          (4)

kde Δ. Je velikosti impulsu.

 

Odezva na skok síly o velikosti ΔF Voigtova modelu je:

                                                                        (5)

Jedná se o často používanou přechodovou charakteristiku.

 

Odezva na obdélníkový impuls síly (křivka toku, creep curve) dána složením dvou přechodových charakteristik o opačné velikosti skoku.

 

Komplexní tuhost S (iω) Voigtova modelu (viz Komplexní moduly a komplexní tuhosti.docx):

                                                                                  (6)

 

Komplexní modul E (iω) Voigtova modelu:

                                                                                  (7)

 

Reálná část komplexní tuhosti a také reálná část komplexního modulu ( storage modulus) jsou frekvenčně nezávislé.

Imaginární část komplexní tuhosti a také imaginární část komplexního modulu (loss modulus) s frekvenci lineárně rostou.

Ztrátový faktor (tangens ztrátového úhlu) s frekvencí lineárně roste.

 

Maxwellův model

Maxwellův se používá pro popis těles, která mají při působení vnější síly trvalý tok, tedy pro popis viskoelastických kapalin.

Obr. 4 Maxwellův model

 

Další klasické reologické modely

 

V literatuře (například Chanda 2007) je popsána ještě řada reologických modelů (tříprvkový Zenerův model, čtyř prvkový model, zobecněný Voigtův model atd.).

 

Modely zahrnující vliv setrvačných sil

 

Voigtův model se setrvačností

Voigtův model se setrvačností je základním prvkem universálního reologického modelu (viz níže). Voigtův model samotný je také nejčastěji používaný reologický model, bude se proto touto problematikou zabývat podrobněji.

Voigtův model samotný (podobně jako i všechny klasické modely) má chování principiálně odchylné od reality, protože nezahrnuje vliv setrvačných sil. Nutné je proto používat spojení klasických modelů se setrvačnými tělesy, protože vliv setrvačností roste s frekvencí deformací nelze jej zanedbat zejména u rychlých změn deformace.

 

Obr. 5 Voigtův model se setrvačností

 

Pro vztahy mezi silami a deformacemi Voigtova modelu se setrvačnosti platí rovnováha:

 

                                                                       (8)

 

 

Odezva na skok může mít dva typy průběhů.

V případě, že platí nerovnost N2 > 4MH, je odezva aperiodická a má tvar:

                                                     (9)

kde „C“ jsou konstanty závislé na parametrech systému, „p“ jsou kořeny charakteristické rovnice, získané pomocí Laplaceovy transformaci rovnice (8).

Podrobnosti k výpočtům konstant lze nalézt v (Ďoubal 2011).

 

V případě, že platí nerovnost N2 ≤ 4MH, je odezva na skok síly (přechodová charakteristika) periodická a má tvar:

                                                                      (10)

Podrobnosti k výpočtům konstant lze nalézt v (Ďoubal 2011).

 

Odezva na impuls síly (impulsní charakteristika) je derivace přechodové charakteristiky.

 

 

Obecný matematický model mechanického chování lineárně viskoelastických těles

Jak již bylo řečeno, klasické reologické modely nemohou principiálně plně (ani dostatečně, ani přesně) popsat chování reálných viskoelastických těles. K dostatečně obecnému a korektnímu popisu viskoelasticity však lze dospět tak, že vyjdeme z matematického popisu (matematického modelu) relací mezi silami a deformacemi.

Základní rovnice, která popisuje vztahy mezi vstupem a výstupem u lineárních či linearizovatelných mechanických systémů má následující tvar:

                                                              (11)

kde L je deformace, F je namáhání. i a j jsou stupně derivace.

Přímá aplikace základní rovnice (11) vede ke složitým a nepřehledným výpočtů. Je proto lépe využít metodiky operátorového počtu (Operátorový počet v mechanice viskoelastických těles.docx). V našem případě využití Fourierovy a Laplaceovy transformace. Tato metoda vede k transformaci diferenciální rovnice (11) na snadněji řešitelné algebraické rovnice (12, 13).

Aplikace Fourierovy transformace vede k rovnici:

                                                 (12)

Aplikace Laplaceovy transformace vede k rovnici:

                                                       (13)

Komplexní tuhost je tedy:

                                                                                 (14)

Operátorová tuhost je:

                                                                         (15)

 

Vztah (14) lze upravit takto (Rektoris, str. 405):

                    (16)

kde členy s B odpovídají dílčím deformacím vykazujícím maxima a vlastní kmity.

 

Celkovou deformaci lze tedy považovat za součet dílčích deformací, odpovídajícím jednotlivým členům ve vztahu (15).

 

                                                       (17)

Tedy také:

                                                                  (18)

kde S(iω) jsou komplexní tuhosti členů ve vztahu (15).

 

 

Universální reologický model mechanického chování viskoelastických těles

Ze vztahů (16 a 17) plyne důležitý závěr: Úplný a zcela universální reologický model lineárně viskoelastických systémů má následující strukturu:

 

 

     

Obr. 6 Universální reologický model mechanického chování viskoelastických těles

 

Jedná se tedy o “sériovou” kombinaci Voigtových modelů a Voigtových modelů se setrvačnosti.

 

 

 

Literatura:

 

Ďoubal S. et al.: Viskoelasticity  teorie a měření. Karolinum, Praha, 2011

 

Kubík S., Kotek Z., Šalamon M.: Teorie regulace –I. Lineární regulace, SNTL, Praha 1968

 

Manas Chanda and Salil K . Roy: Plastics Technology Handbook, Fourth Edition.

CRC Press, Boca Raton, 2007.

 

Rektoris K. et al.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968