Komplexní moduly a komplexní tuhosti

 

Klíčová slova: komplexní modul;  komplexní tuhost; fázory

 

Komplexní modul

Komplexní moduly charakterizují materiál. Komplexní modul E(iω) je poměr fázorů (http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor, http://mathworld.wolfram.com/Phasor.html, Operátorový počet v mechanice viskoelastických těles.docx) mechanického napětí σ(iω) a relativní deformace ε (iω). Komplexní modul je komplexní číslo (Rektorys 1968, Ďoubal 2011)), ale nejedná se fázor.

             (1)

Imaginární složka komplexního modulu EL se nazývá loss modulus -ztrátový modul (Manas 2007), který určuje energii, která se při zatěžování harmonickým mechanickým namáháním o frekvenci ω přemění v teplo za jednotku času v tělese jednotkových rozměrů (podrobně viz odst. Komplexní tuhost). Z obr. 1 plyne vztah:

                     (2)

kde úhel φ je fázový posun mezi harmonickými průběhy napětí a relativní deformace.

Obr. 1. Zobrazení komplexního modulu v komplexní rovině.

 

Platí také:

                              (3)

kde σ0 a ε0 jsou amplitudy harmonických průběhů napětí a relativní deformace.

Reálná část komplexního modulu pružnosti se nazývá storage modulus ES (konzervativní modul), který určuje konzervativní energii, která se transformuje za jednotku času mezi elastickou a setrvačnou složku energie bez ztrát v tělese jednotkových rozměrů.

Platí, analogicky jako u ztrátového modulu:

                  (4)

a také:

           (5)

Poměr amplitud σ0 a ε0  je absolutní hodnota komplexního modulu:

        (6)

 

Určování komplexního modulu z měření chování materiálu

Komplexní modul lze určit na základě měření závislosti mezi harmonickými průběhy mechanického napětí a relativní deformace.

Průběh mechanického napětí je tedy harmonický, obvykle se jedná o vstupní veličinu, kterou nastavíme takto:

                (7)

a harmonický je i průběh relativní deformace (jedná se o výstupní veličinu, tedy odezvu, kterou změříme):

           (8)

 

Můžeme postupovat například takto:

 

1) Z průběhů podle (7) a (8) určíme ztrátový úhel φ.

2) Určíme poměr amplitud σ0 ku ε0  (absolutní hodnotu komplexního modulu).

3) Podle vztahu (5) vypočteme storage modulus.

4) Podle vztahu (2) určíme loss modulus.

 

Tento postup je v souladu s normou: ISO 6721-1: 2011(E)

 

Určování komplexního modulu z parametrů materiálu

 

Základní rovnice popisující vztahy mezi relativními deformacemi a namáháním pro lineární mechanické systémy je lineární diferenciální rovnice s konstantními parametry:

 

kde a a b jsou koeficienty, i a j jsou stupně derivace.

Pokud na předchozí rovnici aplikujeme Fourierovu transformaci, dostáváme:

.

kde ε*(iω) a σ*(iω) jsou Fourierovy obrazy odpovídajících veličin.

Pokud jsou průběhy sil a deformací harmonické, jedná se o fázory těchto veličin. Komplexní modul je poměr fázorů mechanického napětí σ(iω) a relativní deformace ε (iω). Pro poměr fázorů platí (Kubík 1968):

Závislost komplexního modulu E(iω) na frekvenci je frekvenční charakteristika komplexního modulu lineárního mechanického systému.

Pokud je vstupní veličina namáhání, jehož průběh je znám, základní rovnice je jednodušší:

Aplikace Fourierovy transformace vede k rovnici:

Příklad:

Mějme mechanický systém popsatelný Voigtovým modelem. Pro Voigtův model platí:

Ve Fourierově transformaci platí:

 

Komplexní tuhost

Komplexní tuhost charakterizuje těleso či soustavu těles jako celek. Jedná se o obecnější charakteristiku, než je komplexní modul. Teorie je však v hlavních směrech formálně stejná.

 

Komplexní tuhost S(iω) je poměr fázorů síly F(iω) a deformace L (iω).

                                                                                                                     (9)

Komplexní tuhost je komplexní číslo, ale nejedná se o fázor.

 

 

 

Obr. 2. Zobrazení dynamické tuhosti v komplexní rovině

 

Imaginární složka komplexní tuhosti SIM určuje energii, která se při zatěžování harmonickým mechanickým namáháním o frekvenci ω přemění v tělese teplo. Jedná se tedy disipativní energii.

Z obr. 2 plyne vztah:

                      (10)

kde úhel φ je fázový posun mezi harmonickými průběhy napětí a relativní deformace.

Platí také (pro danou frekvenci):

                (11)

kde F0 a L0 jsou amplitudy harmonických průběhů síly a deformace.

 

Komentáře

Disipativní energii lze určit podle disipativního výkonu N. Pro disipativní výkon platí následující vztah (Ďoubal 2011):

A také:

                                   

 

Reálná část komplexní tuhosti určuje konzervativní energii, která se v tělese transformuje mezi elastickou a setrvačnou složku energie bez ztrát.

Analogicky jako u imaginární části, platí pro reálnou část:

                        (12)

a také:

                         (13)

Poměr amplitud F0 a L0  je absolutní hodnota komplexní tuhosti:

            (14)

 

Určování komplexní tuhost z měření chování tělesa

Komplexní tuhost lze určit na základě měření závislosti mezi harmonickými průběhy sily a deformace.

Pokud je harmonický průběh síly (zpravidla nastavíme)

         (15)

a harmonický průběh deformace (odezva, změříme)

      (16)

Postupujeme například takto:

1) Z průběhů podle (15) a (16) určíme ztrátový úhel φ.

2) Určíme poměr amplitud F0 ku L0  .

3) Vypočteme reálnou část komplexní tuhosti.

4) imaginární část komplexní tuhosti.

 

Určování komplexní tuhost z parametrů tělesa

Základní rovnice popisující vztahy mezi deformacemi a silami pro lineární mechanické systémy je lineární diferenciální rovnice s konstantními parametry:

 

kde a a b jsou koeficienty, i a j jsou stupně derivace.

Pokud na předchozí rovnici aplikujeme Fourierovu transformaci (Kubík 1968), dostáváme:

kde Y*(iω) a X*(iω) jsou Fourierovy obrazy odpovídajících veličin.

 

Pokud jsou průběhy sil a deformací harmonické, jedná se o fázory těchto veličin. Pro poměr fázorů podle definice komplexní tuhost platí:

Závislost komplexní tuhostí S(iω) na frekvenci je frekvenční charakteristika komplexní tuhosti lineárního mechanického systému.

Pokud je vstupní veličina síla, jejíž průběh je fázor s danými parametry, základní rovnice je pak jednodušší:

Aplikace Fourierovy transformace vede k rovnici:

 

Příklad:

Mějme mechanický systém popsatelný Voigtovým modelem. Pro Voigtův model platí:

.

 

Ve Fourierově transformaci platí:

 

Literatura:

 

Ďoubal S. et al.: Viskoelasticity  teorie a měření. Karolinum, Praha, 2011

Kubík S., Kotek Z., Šalamon M.: Teorie regulace –I. Lineární regulace, SNTL, Praha 1968

Manas Chanda  and Salil K . Roy: Plastics Technology Handbook, Fourth Edition.

CRC Press, Boca Raton, 2007.

Rektoris K. et al.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968