Mechanická resonance – teorie a praktické využití

 

Klíčová slova:             resonance; mechanická resonance; resonanční křivky; resonanční frekvence; resonance viskoelastických těles; vlastní kmity; resonance dlouhých struktur

 

Úvod

Resonance je jev, který se u fyzikálních systémů vyskytuje velmi často (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Resonance), Ať už jde o resonanci při interakci elektromagnetických vln s hmotou (např. http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_magnetic_resonance), resonanci elektrických obvodů (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resonance), či o resonanci mechanickou. K resonanci však dochází pouze u některých fyzikálních systémů.

Chování fyzikálních systémů se ve stavu resonance dramaticky liší od chování ve stavu mimo resonanci. K resonanci dochází na jedné či více resonančních frekvencích. Na těchto frekvencích může mít systém také vlastní kmity. Obecně lze říci, že reakce výstupu fyzikálního systému na vstup je ve stavu resonance výrazně větší, než mimo resonanci. Resonance je základem mnoha citlivých a přesných měřicích metod (NMR, EPR, RMA a mnoho dalších), resonance je také základem antén v elektronice atd. Mechanická resonance je základem řády hudebních nástrojů. S mechanickou resonancí jsou také spojeny některé nebezpečnými jevy, zejména nežádoucí rozkmitání mechanických soustav.

Měření mechanických parametrů materiálů a těles může být založeno na jejich resonanci (RMA – resonanční mechanická analýza, vyvinutá firmou DELTER, (viz Resonanční přístroje pro měření viskoelasticity-ppt.pptx.). Taková měření mohou být mnohem citlivější a přesnější než konvenčně používaní metody DMA, (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_mechanical_analysis ).

Skutečně korektní a úplnou teorii resonance je však v otevřených zdrojích obtížné nalézt. Obvyklý je nepřesný „semikvantitativní“a zpravidla málo obecný popis. Dokladem může být heslo ve wikipedii (http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_resonance), ze kterého je následující výňatek:

Mechanical resonance is the tendency of a mechanical system to respond at greater amplitude when the frequency of its oscillations matches the system's natural frequency of vibration (its resonance frequency or resonant frequency) than it does at other frequencies. It may cause violent swaying motions and even catastrophic failure in improperly constructed structures including bridges, buildings and airplanes—a phenomenon known as resonance disaster.

Dále se proto budeme problematikou mechanické resonance zabývat podrobněji. Zaměříme se nejprve na resonanci jednoduchých elastických a viskoelastických soustav a následně na obecnou teorii resonance. Dále pak na určování resonančních frekvencí těles různé geometrie v závislosti na šíření mechanické vlny.

 

Teorie mechanické resonance

Mechanická resonance elastických systémů

Nejprve se budeme zabývat jednoduchým mechanickým oscilátorem (obr. 1), tvořeným elastickým prvkem (pružinou) a setrvačným tělesem (závažím). Jedná o zdánlivě triviální problém, jehož řešení se považuje za jasné. Přesto zde uvedeme řešení problematiky resonance tohoto systému krok za krokem. Jednak proto, abychom ukázali na jednoduchou metodiku řešení této problematiky, jednak proto, abychom osvětlili analogickou metodologii řešení složitějších situací.

 

Obr. 1 Jednoduchý mechanický oscilátor

 

Rovnováha sil:

 

                                           (1)

Předpokládejme, že energie se vnese do systému krátkým jednorázovým impulsem vnější síly (F). Tato síla je rovna součtu elastické síly v pružině (FP) a síly setrvačné (FZ).

Při dynamickém zatěžování dostáváme pro mechanické chování jednoduchou lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty:

                                                   (2)

kde M je hmotnost závaží, y je deformace pružiny, H je tuhost (konstanta) pružiny.

 

Poznámka:

Při aplikaci tohoto modelu na elastická tělesa předpokládáme, že celé těleso je možno považovat za složené z dvou členů, do kterých jsou soustředěny relevantní mechanické vlastnosti. Elastické vlastnosti jsou soustředěny do pružiny (nazývané obecněji Hookeovo těleso) a setrvačné vlastnosti do závaží (nazývané obecněji setrvačné těleso). Pružina má nulovou setrvačnost a závaží má nulovou deformaci.

 

Vlastní kmity

Přehledné a jednoduché řešení spočívá v aplikaci Laplaceovy transformace (dále L transformace) na rovnici (2). Dostáváme tak algebraickou rovnici (viz  Operátorový počet v mechanice viskoelastických těles.docx):

    (3)

kde p je nová proměnná (místo času t).

Jednorázové vnesení energie do systému je ekvivalentní působení impulsu síly o velikosti A. V L transformaci pak platí:

 

                                     (4)

 

Pro další zjednodušení nebudeme v L transformaci proměnnou p označovat.

Pro deformaci y dostáváme:

         (5)

Jmenovatel rovnice (5) má kořeny . Z teorie L plyne, že y v časové oblasti má průběh:

        (6)

kde

       (7)

Poznámka:

Podle stejných vztahů se řídí i mechanické oscilátory tvořené i jinými elastickými systémy, například elastickou tyčí. A to i pro další typy namáhání. Například pro namáhání v ohybu či torzi.

V praxi může setrvačný člen představovat i vlastní hmotnost tyče, je však třeba brát v úvahu, že setrvačná síla působí v tomto případě v těžišti tyče, na rozdíl od situace na obr 1, kde setrvačná síla působí na konci pružiny.

 a)                                                                                              b)

Obr. 2 Elastická tyč se setrvačným tělesem jako mechanický oscilátor při namáhání v tahu (a), elastická tyč bez setrvačného členu

 

                         a)                                                                                               b)

Obr. 3 Elastická tyč se setrvačným tělesem jako mechanický oscilátor při namáhání v ohybu (a), elastická tyč bez setrvačného členu

 

Resonanční křivky

Resonanční křivky vycházejí z frekvenční charakteristiky systému. Při resonanční frekvenci by amplitudy vibrací měly podle definice dosahovat maxima. Odvodíme vztahy pro maxima vibrací při konstantním buzení harmonickou budící silou.

Z hlediska přehlednosti je nejlépe vycházet z frekvenčních charakteristik deformace. Tyto charakteristiky lze získat tak, že na základní diferenciální rovnici (2) aplikujeme Fourierovu transformaci, viz Operátorový počet v mechanice viskoelastických těles.docx. Dostáváme:

            (8)

Pokud má budící síla F harmonický průběh, mají u lineárních systémů (náš případ) harmonický průběh i deformace y. Průběhy F(iω) a y(iω) se v tomto případě nazývají fázory.

Poměr fázorů

        (9)

představuje frekvenční charakteristiku systému.

Frekvenční charakteristika je průběh harmonické odezvy při jednotkové amplitudě budící harmonické síly.

U elastických systémů dosahuje funkce (9) maxima (teoreticky jde k nekonečnu) při

          (10)

Resonanční frekvence odpovídá vztahu (7).

 

Poznámka:

U složitějších elastických a viskoelastických systémů je situace složitější. Resonance může nastávat na větším počtu frekvencí.

 

Prakticky je důležité, jak rychle roste amplituda deformací v okolí resonanční frekvence. Simulace je v souboru resonance elastická.xlsx. Příklad na obr. 4.

 

Obr 4. Příklad průběhu resonanční křivky (netlumeného) mechanického oscilátoru pro parametry H= 100 N/m, M= 1kg

 

Mechanická resonance jednoduchých viskoelastických systémů

Nejprve se budeme zabývat jednoduchým tlumeným mechanickým oscilátorem (obr. 5), tvořeným elastickým prvkem (pružinou), setrvačným tělesem (závažím) a tlumičem.

 Obr. 5 Jednoduchý tlumený mechanický oscilátor

 

Rovnováha sil:

 

           (11)

Předpokládejme, že energie se vnese do systému krátkým jednorázovým impulsem vnější síly (F). Tato síla je rovna součtu elastické síly v pružině (FP), síly setrvačné (FZ) a síly viskózní (FT) v tlumiči.

Při dynamickém zatěžování dostáváme jednoduchou lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty:

      (12)

kde M je hmotnost tělesa, y je deformace pružiny, H je tuhost (konstanta) pružiny, N je koeficient tlumení (viskózní konstanta) tlumiče.

 

Vlastní kmity

Pro přehlednost a jednoduchost aplikujeme na rovnici (12) L transformaci (viz Operátorový počet v mechanice viskoelastických těles.docx) dostáváme algebraickou rovnici:

         (13)

kde p je nová proměnná (místo času t).

Jednorázové vnesení energie do systému je ekvivalentní působení impulsu síly o velikosti A. V L transformaci pak platí:

 

      (14)

Pro další zjednodušení nebudeme opět v L transformaci proměnnou p označovat.

Pro deformaci y dostáváme:

      (15)

 

Kvadratická rovnice (15) má pro y v časové oblasti řešení:

        (16)

Kde

         (17)

a

       (18)

 

 

Podle stejných vztahů se řídí i tlumené mechanické oscilátory tvořené i jinými viskoelastickými systémy, například viskoelastickou tyčí. A to i dalších typů namáhání, nejen při namáhání normálovém. Například i při namáhání v ohybu či torzi.

 

Resonanční křivky

Při resonanci by amplitudy vibrací měly dosahovat maxima. Odvodíme vztahy pro maxima vibrací při konstantním buzení harmonickou budící silou.

Z hlediska přehlednosti je nejlépe vycházet z frekvenčních charakteristik. Tyto charakteristiky lze získat tak, že na základní diferenciální rovnici (12) aplikujeme Fourierovu transformaci (viz Operátorový počet v mechanice viskoelastických těles.docx).

Dostáváme:

       (19)

Pokud má budící síla F harmonický průběh, mají u lineárních systémů (náš případ) harmonický průběh i deformace y. Průběhy F(iω) a y(iω) se v tomto případě nazývají fázory.

Poměr fázorů:

                 (20)

představuje frekvenční deformační charakteristiku systému.

Tato frekvenční charakteristika je komplexní číslo. Skládá se z amplitudové a frekvenční charakteristiky.

Pro řešení podmínky resonance, podle definice resonance používané výše, je relevantní amplitudová frekvenční charakteristika. Jedná se o poměr amplitud deformace a amplitud síly v závislosti na frekvenci.

     (21)

tedy:

    (22)

 

Resonance nastává, pokud výraz (22) dosahuje maxima. Podmínka pro maximum je tedy:

    (23)

Pro resonanční frekvenci platí:

      (24)

Jedná se o vztah totožný se vztahem (17).

 

Zatímco u čistě elastických systémů roste amplituda vibrací v resonanci teoreticky nad všechny meze, u viskoelastických systémů je omezena viskózní složkou.  Pokud je amplituda budící síly jednotková, platí pro vibrace v resonanci vztah:

          (25)

 

Prakticky je často důležité, jak rychle roste amplituda deformací v okolí resonanční frekvence. Simulace je v souboru resonance viskoelastická.xlsx. Příklad na obr. 6.

 

 

Obr 6. Příklad průběhu resonanční křivky v ohybu pro parametry: H= 100 N/m, N= 0,02 Ns/m,  pro dřevěnou tyč 100x4x4 mm

U jednoduchých viskoelastických systémů dochází k resonanci pouze tehdy, pokud není viskózní (tlumící) složka mechanického chování příliš vysoká. Podmínka vzniku resonance je:  . Jinak systém nekmitá.

 

Poznámka:

Z obr. 6 a také z použití vztahů (22) a (25) vidíme, že vibrace v oblasti resonance jsou obvykle 10 až 1000 větší, než vibrace mimo resonanci. Při měření pomocí resonanční metody (ve srovnání s přímým měřením resonanční křivky metodikou DMA) proto vystačíme s citlivostí snímaní podobně menší.

 

Mechanická resonance složitých viskoelastických systémů obecně

U jednoduchých elastických i viskoelastických systémů dochází k resonanci na jednom kmitočtu. U jednoduchých viskoelastických systémů dochází k resonanci pouze tehdy, pokud není viskózní (tlumící) složka mechanického chování příliš vysoká. Jinak systém nekmitá. Avšak i u nekmitajících systémů lze však resonanci vyvolat přidáním dostatečně velkého vnějšího setrvačného členu.

U složitých viskoelastických systémů (například kompozitů či dřeva) může docházet k resonanci na více frekvencích. Resonanční křivka má v tomto případě více maxim.

 

Teorie resonance složitých viskoelastických systémů

Vztahy mezi silami a deformacemi (mechanické chování) mechanických systému lze popsat (jako celek nebo alespoň po úsecích) lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.

           (26)

Aplikujeme-li L transformaci dostáváme algebraickou rovnici:

     (27)

Vlastní kmity systému nastávají po vnesení impulsu energie do systému. Pokud je energie vnesena impulsem síly, pak je pravá strana rovnice (27) rovna velikosti A impulsu.

 

                                     (28)

 

Pro jednoduchost budeme uvažovat o impulsu o velikosti 1.

         (29)

 

Pokud je třeba získat vztah pro časový průběh impulsní charakteristiky je výhodné rovnici (29) přepsat pomocí metody parciálních zlomků do formy (Rektoris str. 405-7):

      (30)

Pokud dochází k resonanci, uplatní se jen členy s B.

                (31)

V časové oblasti má průběh deformace následující (frekvenční charakteristika) charakter:

                                     (32)

kde β je reálná část komplexně sdružených kořenů, ω je imaginární část komplexně sdružených kořenů členů ve vztahu (31). Resonance nastává v místě lokálních maxim funkce (32).

Řešení vlastních kmitů (vztahy 31 a 32) složitých lineárně viskoelastických systémů je tedy formálně součet odezev dílčích jednoduchých viskoelastických systémů (viz vztah 15).

 

Resonance dlouhých tyčí a lan.

 

Úvod

Problematika vlastních kmitů dlouhých tyčí a lan má mimořádný význam v řadě oblastí, například ve stavebnictví. Mezi základní otázky patří frekvence a tlumení vlastních kmitů, průběhy deformace a namáhání podél těchto struktur či metodika eliminace vlastních kmitů. K řešení těchto problémů není možné jednoduše aplikovat metodiku uvedenou v předchozích částech této studie. Dlouhé struktury se totiž chovají jako systémy s principiálně rozloženými parametry.

Cestu k jednoduchému a praktickému řešení však poskytuje analýza šíření mechanické vlny v těchto systémech.

Při řešení vyjdeme z rychlosti šíření mechanické vlny (určené experimentálně) a z odrazů vlny na okrajích tělesa. Interference přímé a odražení vlny umožňuje určit polohu maxim deformace a resonanční frekvenci.

 

Princip řešení pro rovnoměrnou tyč

Podél tyče se po vnesení energie krátkým impulsem šíří mechanické vlna. Pokud je tyč na konci pevně fixovaná, mechanická impedance pevného zakončení je mnohem vyšší (teoreticky je nekonečná) než mechanické impedance tyče. V bodě pevného uchycení je nulová deformace a maximum namáhání. Pokud je zakončení tyče volné, je v místě zakončení maximální amplituda vibrací a minimální namáhání. Mechanická impedance volného konce má mechanickou impedanci mnohem nižší (teoreticky nulová), než impedance tyče.  

V místech zakončení, pokud se impedance zakončení liší od impedance tyče, se vlna odráží. Interferencí přímé a odražené vlny vzniká stojaté vlnění.

Při vnesení energie krátkým impulsem se tyč samovolně rozkmitá takovými frekvencemi, kterým v místě pevného zakončení odpovídá kmitna namáhání, pokud je zakončení volné, v místě volného zakončení je naopak kmitna deformace. Na základě tohoto jevu lze určit rychlost šíření mechanické vlny a polohy případných dalších kmiten a uzlů.

Metodu lze použít i pro viskoelastickou tyč, pokud se v ní šíří mechanická vlna, tedy pokud viskózní složka není příliš vysoká.

 

Postup měření a výpočtů

1) Změříme frekvenci f vlastních kmitů tyče o známé délce (obr. 7)

2) Protože délka tyče je λ/4, můžeme určit rychlost v šíření mechanické vlny (není totožná s rychlosti šíření akustické vlny):

                                        (33)

Poznámka:

Teoreticky se tyč může rozkmitat při celočíselných násobcích λ/4, prakticky obvykle převládají kmity na délce λ/4, protože ostatní kmity jsou více tlumené.



Obr. 7 Měření rychlosti šíření mechanické vlny

 

 Obr. 8 Kmitání dlouhé tyče v ohybu, při pevném uchycení na obou koncích

 

Poznámka 1

Výše uvedená teorie je snadno aplikovatelná pro jednoosové namáhání.

Pro namáhání v 2D a 3D je aplikovatelnost obtížnější. Lze však poměrně snadno přejít od šíření vlny v jednom směru pomocí využití Huygensova principu a principu metody konečných prvků.

 

Dodatky

 

Přechod mezi parametry tělesa a materiálovými konstantami materiálu u rovnoměrné tyče

 

Materiálové parametry jsou: Hustota ρ, modul pružnosti v tahu E, viskózní koeficient η.   

Parametry tyče: jsou: Hmotnost M, tuhost H, Newtonův koeficient N.

Převodní vztahy:

kde l je délka tyče, S je průřez tyče.

 

 

Základní literatura

 

Ďoubal a kol.: Monografie, Karolinum, Praha, 2011

Kubík a kol.: Teorie regulace SNTL, Praha, 1968

Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, SNTL, Praha. 1968

Kolektiv: Technický slovník naučný, SNTL, Praha, 1982