Operátorový počet - aplikace v mechanice viskoelastických těles

 

Klíčová slova: operační počet; Laplaceova transformace; Fourierova transformace; lineární systémy; Voigtův model; komplexní modul; komplexní tuhost

 

Úvod

Operátorový počet je metodika, pomocí které se problematika řešení diferenciálních rovnic převádí na řešení algebraických rovnic. Tato studie je zaměřena na použití operátorového počtu, konkrétně Laplaceovy a Fourierovy transformace, pro analýzu dynamického chování mechanických systémů (viz  

http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Laplace_transform http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fourier_transform ).

 

Teorie

Operátorový počet podstatně usnadňuje zejména řešení lineárních diferenciálních rovnic. Lze jej s výhodou aplikovat při řešení vztahů mezi deformacemi a namáháními u lineárních a po částech lineárních mechanických systémů. Tato metoda umožňuje převést řešení založené na lineárních diferenciálních rovnicích, které je v mnoha situacích neúnosně složité, na snadnější řešení založené na algebraických rovnicích. Tato metoda se tradičně používá u lineárních elektrických obvodů a v teorii regulace a řízení, je velmi dobře propracovaná i po aplikační stránce. Základní teoretická východiska i metodiku řešení lze využít i v mechanice viskoelastických těles.

 

Obr. 1. Transformace mezi namáháním a deformací

 

Dynamické mechanické chování -základní diferenciální rovnice

Pokud bude výstup deformace a vstup síla působící na vzorek, pak při dynamickém zatěžování se v čase mění oboje. Výstup záleží nejen na aktuální hodnotě vstupu, ale také na rychlosti, jak se mění vstup a také na zrychlení vstupu atd. Obecně může záviset na všech derivacích vstupu podle času. Podobně průběh výstupu není dán jen aktuální hodnotou vstupu v daném okamžiku, ale je pro celý průběh v čase nutné znát rychlost změn výstupu, zrychlení a všechny další derivace. Pro lineární systémy (reologické modely jsou lineární systémy, komplexní moduly jsou vhodně jen pro lineární a po částech lineární systémy) lze výše uvedené relace zapsat takto podle vztahu (1):

 

            (1)

 

kde a a b jsou koeficienty, l a m jsou stupně derivace, x je vstupní veličina (obvykle síla či mechanické napětí), y je výstupní veličina (obvykle absolutní či relativní deformace).

Pokud průběh vstupní veličiny známe, pak lze rovnici (1) možné přepsat:

       (2)

 

Principiálně, pokud známe průběh vstupu (např. impuls) a koeficienty rovnice (2), můžeme určit průběh výstupu (např. impulsní charakteristiku). To znamená, že jsme schopni řešit tzv. „přímý problém“. Pokud známe vstup a výstup (změříme), můžeme určit koeficienty, například parametry reologického modelu (hodnoty Hookeových a Newtonových těles v modelu) a tedy řešit „inverzní problém“. Prakticky je však řešení bez použití Laplaceovy či Fourierovy transformace obtížné.

 

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace umožňuje převést diferenciální rovnici (1) resp. (2), tj. lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, na řešení běžné algebraické rovnice. Pak lze snadněji vyřešit inverzní problém, viz příklady níže (podrobněji Kubík 1968).

 

Definice a použití Laplaceovy transformace

  (3)

Podle vztahu (3) se převedou funkce závislé na čase t z časové oblasti na jejich Laplaceovy obrazy, tedy na funkce operátoru p. (např. závislost vstupu f(t) na čase na její Laplaceův obraz F(p)). Pomocí vztahu (3) lze diferenciální rovnice, obsahující jako proměnnou čas t, převést na algebraické rovnice, obsahující novou proměnnou p. Řešení algebraických rovnic je snadnější a přehlednější.

Aby však bylo možné nalézt Laplaceův obraz funkce f(t), musí být splněny následující podmínky:

a) Funkce musí být jednoznačná a pro t < 0 musí být identicky nulová.

b) Funkce musí být v konečném intervalu po úsecích hladká.

c) Funkce musí být exponenciálního řádu (podrobněji Kubík 1968).

 

Po vyřešení algebraické rovnice dostáváme závislost obrazu výstupní veličiny na obraze vstupní veličiny. Průběh v časové oblasti lze určit podle vztahu pro zpětnou transformaci:

         (4)

Protože použití výše uvedených transformačních vztahů, zejména vztahu (4) může být obtížné, při praktických výpočtech proto s výhodou používáme operátorový slovník (viz níže).

 

 

 

Příklady postupu

 

Voigtův model

 

 

Obr. 2. Voigtův model –Kelvinovo těleso

 

Budeme hledat průběh impulsní a přechodové charakteristiky pro Voigtův model (řešení přímého problému). Nejprve odvodíme diferenciální rovnici popisující model. Podle definice je Voigtův  model tvořen Hookeovým a Newtonovým tělesem, která se deformují shodně (deformace je společná). Celková deformující síla F je rovna součtu sil obou základních těles.

kde F je deformující síla, H je tuhost tělesa při statickém namáhání (elastická tuhost), L je deformace, N je Newtonův koeficient, t je čas.

Nyní použijeme Laplaceovu transformaci a přepíšeme výše uvedenou rovnici pro novou proměnnou p. Použijeme operátorový slovník a využijeme základní vlastnosti Laplaceovy transformace (viz níže). Dostáváme následující algebraickou rovnici:

 

Tuto rovnici lze snadno řešit pro L(p):

 

Impulsní charakteristika Voigtova modelu

Impulsní charakteristika je odezva na impuls vstupní veličiny. Pro obraz jednotkového (Diracova) impulsu platí:

Odezva na jednotkový impuls v Laplaceově transformaci je tedy dána vztahem:

Nyní budeme hledat průběh deformace L(t) v časové oblasti. Výše uvedenou rovnici upravíme tak, aby se dobře hledala ve slovníku (viz níže):

a porovnáme ji s následujícím vztahem nalezeným ve slovníku:

Je zřejmé, že průběh impulsní charakteristiky Voigtova modelu je dán vztahem:

Jednotkový impuls síly teoreticky odpovídá síle působící na systém nekonečně krátkou dobu, přičemž plocha pod křivkou síla-čas je rovna jedné. Reálně, při měření impulsních charakteristik, impuls má konečnou dobu trvání,  musí být mnohem kratší, než jsou odezvy systému. Zároveň se může lišit od jedné. Měřítkem reálné velikosti impulsu je plocha pod křivkou síla-čas. Můžeme tedy mluvit o velikosti impulsu Δ. Pro takový impuls platí:

 

 

Přechodová charakteristika Voigtova modelu

Přechodová charakteristika je odezva na skok vstupní veličiny. Pro Laplaceův obraz jednotkového skoku platí:

Přechodová charakteristika v Laplaceově transformaci má tedy pro Voigtův model tvar:

Výše uvedenou rovnici upravíme:

ze slovníku využijeme  rovnicí:

obě rovnice porovnáme. Je zřejmé, že průběh přechodové charakteristiky pro jednotkový skok je dán vztahem:

.

Obecněji, pokud je skok o velikosti ΔF, je průběh přechodové charakteristiky pro Voigtův model následující:

 

Při výpočtech přechodové charakteristik lze také vyjít z faktu, že přechodová charakteristika je integrál impulsní charakteristiky (v Laplaceově transformaci násobení 1/p odpovídá integraci v časové oblasti). A naopak, impulsní charakteristika je derivace přechodové charakteristiky.

 

Voitghtův model se setrvačným členem

 

Obr. 3. Voigtův model se zahrnutím vlivu setrvačností

 

Postupujeme analogicky, ale výpočty jsou složitější. Na ukázku budeme hledat impulsní charakteristiku z konstitutivní rovnice. Vycházíme z předpokladu, že základní tělesa se pohybují společně (deformace Hookeova a Newtonova tělesa je stejná a pohyb setrvačného tělesa je určován pohybem těžiště systému). Celková deformující síla F je rovna součtu sil všech tří těles:

 

kde m je hmotnost setrvačného členu, koeficient k vyjadřuje přepočet deformace na polohu těžiště.

Pro zjednodušení označíme: 

Platí tedy:

Použijeme Laplaceovu transformaci a budeme výše uvedenou rovnici řešit pro L(p) a následně přejdeme do časové oblasti.

 

 

resp.

 

kde p1 a p2 jsou kořeny rovnice Mp2 + Np + H = 0.

Pro impuls o velikosti Δ:

F(p) = Δ.

Pro deformaci v Laplaceově transformaci v tomto případě platí:

Pro kořeny p1 a p2 platí:

Mohou nastat tři případy.

 

1)          

pak

 

Platí tedy:

V slovníku nalezneme průběh L(t) v časové oblasti.

Impulsní charakteristika je aperiodická.

 

2)        N2 > 4MH       

Platí tedy:

 

Pro impuls:

 

Rozkladem na parciální zlomky (Rektorys str.405-408) dostáváme:

V časové oblasti:

 

 

v situaci, kdy N2 > 4MH jsou kořeny záporná reálná čísla.

Impulsní (i přechodová) charakteristika je aperiodická, tvořena dvěma exponenciálními funkcemi.

 

3) N2 < 4MH (kořeny p1 a p2 jsou komplexně sdružená komplexní čísla)

 

Pro impuls dostáváme:

 

V časové oblasti:

kde a je reálná část kořenů, ω je imaginární část kořenů.

V našem případě je:

a

podrobněji viz například v knize Kubík a kol (1968), str. 144.

V této situaci je impulsní i přechodová charakteristika periodická, je tvořena tlumenou harmonickou funkcí.

V tomto režimu se provádí měření pomocí resonanční metody.

 

Fourierova transformace

Fourierovu transformaci lze aplikovat na funkce po úsecích hladké a absolutně integrovatelné.

Pro Fourierův obraz  X(iω) funkce f(t) platí definiční vztah (5), který je analogický vztahu (3):

    (5)

Aby však bylo možné nalézt Fourierův obraz funkce f(t), musí být splněny následující podmínky:

a) Funkce musí být po úsecích hladká.

c) Funkce musí být integrovatelná (podrobněji Kubík 1968).

 

Pro relace mezi silami a deformacemi základní diferenciální rovnice (2) následující tvar:.

               (6)

Po aplikaci Fourierovy transformace dostáváme algebraickou rovnici:

   (7)

Zvláště výhodné je využít Fourierovu transformaci pro měření a analýzu frekvenčních charakteristik a následně pro práci s komplexními moduly a komplexními tuhostmi. Zde však narážíme na zásadní problém, protože podmínka integrovatelnosti není u harmonických funkcí splněna. Lze však ukázat, že předchozí vztah (7) platí i v situaci, kdy veličiny X(iω) a Y(iω) jsou fázory.

Pro fázory platí definiční vztah:

          (8)

Protože platí Eulerův vztah:

Platí také:

        (9)

 

Poměr fázorů :

Pro jednotkový fázor X(iω) vstupní veličiny dostáváme frekvenční charakteristiku pro deformace.

 

Opačný poměr fázorů :

je komplexní tuhost.

 

Pokud vyjadřujeme vztah mezi fázory mechanického napětí a relativní deformací, jejich poměr je komplexní modul:

 

Frekvenční charakteristika Voigtova modelu

Základní rovnice jsou:

      pro tělesa

 

        pro materiály

Tyto rovnice transformujeme pomocí Fourierovy transformace a dostáváme:

                      

 

Amplitudová frekvenční charakteristika Voigtova modelu

Amplitudová frekvenční charakteristika je závislost poměru amplitud síly a deformace. Platí vztah:

                           pro tělesa

 

A také:

              pro materiály

 

Fázová frekvenční charakteristika Voigtova modelu

Fázová frekvenční charakteristika je závislost úhlu mezi fázorem síly (nebo napětí) a fázorem deformace (nebo relativní deformace) na frekvenci. Tento fázový úhel odpovídá fázovému posunu mezi harmonickým průběhem síly (nebo napětí) harmonickým průběhem deformace (nebo relativní deformace). Obvykle se udává tzv. loss factor, což je tangens fázového úhlu.

Loss factor (tg φ) u Voigtova modelu je poměr:

        pro tělesa

pro materiály.

 

 

Vybraná část operátorového slovníku

 vybrane pojmy operatoroveho poctu

Základní literatura

 

Ďoubal S. et al.: Viskoelasticity  teorie a měření. Karolinum 2011

Kubík S., Kotek Z., Šalamon M.: Teorie regulace –I. Lineární regulace, SNTL, Praha 1968

Rektoris K. et al.: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha 1968