Mechanické přizpůsobení v heterogenních mechanických soustavách

 

Klíčová slova:            mechanické přizpůsobení těles; kompozity; membrány

 

Úvod

Pokud je těleso nehomogenní, v tom smyslu, že je složeno z více dílčích těles, která se chovají mechanicky odlišně, mohou v místě kontaktu těchto dílčích těles vznikat dodatečná namáhání. Význam těchto dodatečných namáhání může být značný. Pokud jsou například spojení dílčích těles pevná, vzniká v tělese vnitřní napětí, s obecně známými důsledky. Je-li spojení „kluzné“ pak při deformaci tělesa vedou dodatečná namáhání k vzájemnému posuvu dílčích těles. Taková situace může být spojen se značnými problémy, příkladem je nutnost optimalizace mechanických vlastností oděvů, obuvi, bandáží či náplastí. Nevhodné mechanické parametry totiž vedou ke vzniku otlaků, oděrek apod., včetně omezení pohybu, a často k značnému diskomfortu uživatelů.

Eliminace nastíněných problémů spočívá v řešení problematiky mechanického přizpůsobení dílčích těles tvořících složitější soustavy. Učebnicovým příkladem úspěšného řešení mechanického přizpůsobení při vlivu měnící se teploty je vynález železobetonu ve stavebnictví, kde je jako zpevňovací element volen materiál (ocel) s přibližně stejným koeficientem teplotní roztažnosti jako beton. Soustava ocel-beton je mechanicky přizpůsobená změnám teploty. Mechanické přizpůsobení při deformacích se však obvykle řeší jen na základě empirie.

Mechanické přizpůsobení při měnícím se namáhání resp. měnících se deformacích je komplexní problém. Z praktického hlediska je pro jeho úspěšné řešení třeba mít k disposici adekvátní teoretický aparát a dostupnou metodiku měření relevantních mechanických veličin.

Význam řešení problematiky mechanického přizpůsobení sahá od průmyslu plastů, přes výrobu kompozitů po oděvní průmysl.

 

Teorie

 

Základní pojmy

Klasické metody řešení mechanického chování těles (teorie pevnosti a pružnosti, mechanika kontinua) neposkytují v případě heterogenních soustav dostatečně jednoduché a prakticky aplikovatelné postupy. Je však možno použít metodiku analogickou metodě řešení lineárních elektrických obvodů. Tato metodika se v elektronice používá pro lineární a po částech lineární elektrické obvody již po desítky let, je plně ověřena a prakticky aplikovatelná. Modifikace této metodiky pro mechanické systémy je uveden a práci (Ďoubal a kol.: Mechanické chování viskoelastických těles, Praha, Karolinum, 2011). Tato metoda je použitelná pro lineární a po částech lineární mechanické systémy. Základním veličinou používanou v této metodě je komplexní mechanická tuhost S(iω), která je analogická elektrické impedanci. Komplexní mechanická tuhost je poměr mezi harmonickým průběhem zatěžující síly F(iω) a harmonickým průběhem (absolutní) deformace l(iω). Z formálně matematického hlediska jsou veličiny F(iω) a l(iω) fázory.

 

           (1)

Vztah mezi celkovou komplexní tuhostí a komplexními tuhostmi dílčích těles, tvořících soustavu, závisí na struktuře soustavy. V práci (Ďoubal 2011) je uveden postup, jak pro různé typy struktur tyto relace určit.

U mechanicky homogenních těles existuje jednoznačný vztah mezi komplexní tuhosti a častěji používaným komplexním modulem E(iω).

Komplexní modul je definován takto:

         (2)

kde σ(iω) je harmonický průběh mechanického napětí, ε(iω) je harmonický průběh relativní deformace.

Pokud je například těleso tvaru tyče namáháno normálově (v tahu nebo tlaku) v jedné ose, platí vztah:

         (3)

kde L je klidová délka tyč, A je plocha průřezu tyče.

V další části se zaměříme na základní strukturní kombinace dílčích těles v soustavě.

 

Základní typy kombinací dílčích těles

 

a) Dvě tělesa při jednoosém namáhání

Pokud se mohou dílčí tělesa vzájemně posouvat (například je-li jejich spojení vnějším přitlačením a je-li tření mezi tělesy malé), vzniká při působení normálové síly deformace. Deformace se liší, pokud se liší komplexní tuhost těles (viz obr. 1).

Pokud jsou dílčí tělesa spojena pevně, jsou deformace dílčích těles shodné, celková síla je součet sil v dílčích tělesech. Síly namáhající dílčí tělesa se liší. V soustavě při dynamickém zatěžování vzniká vnitřní pnutí (viz obr. 2).

 

 

 Obr. 1 Dvě tyče namáhané shodnou silou s volným vzájemným posunem.

 

 

Obr. 2 Dvě tyče s pevným spojením.

 

Reálná situace obvykle leží obvykle mezi těmito modelovými případy. V důsledku rozdílných namáhání dochází k vzniku deformace ve smyku (viz obr. 3).

 

 

 

 Obr. 3 Reálná situace při pevném spojení dvou tyčí

 

Obvyklé je řešení omezení vlivu smykových namáhání mechanicky nepřizpůsobených těles kluznou mezivrstvou. Často používané u náplastí, oděvů a náhrad v biomechanice (viz obr. 4).

 

 Obr. 4 Obvyklé řešení omezení smykových namáhání mechanicky nepřizpůsobených těles kluznou mezivrstvou.

 

 

Mechanické přizpůsobení

Principiální řešení problematiky mechanického přizpůsobení je nutné založit na splnění podmínky shodné komplexní tuhosti dílčích těles. Takto se dosáhne shodná deformace v dílčích tělesech a eliminuje se vznik vnitřního pnutí.

Komplexní tuhost závisí na rozměrech dílčích těles a na materiálu dílčích těles. V případě normálového namáhání v jednom směru lze použít vztahy 1 až 3. Vhodnou volbou těchto parametrů lze docílit mechanického přizpůsobení.

Je nutno zdůraznit, že problematiku je nutno řešit pro dynamické namáhání. To je mít informaci o frekvenční závislosti komplexních modulů. Optimálně by tato frekvenční závislost měla být u všech dílčích těles shodná. Z praktického hlediska je základním předpokladem úspěšnému řešení dostupnost informace o komplexní mechanické tuhosti dílčích těles, obvykle to znamená možnost měření komplexní mechanické tuhosti.

 

b) Dvě tenké vrstvy při namáhání v tlaku

Předchozí analýza se zabývala namáháním v normálovém směru v jedné ose. Velmi často se však setkáváme s problematikou mechanického přizpůsobení plošných struktur (membrán). Příkladem je mechanické přizpůsobení náplastí, bandáží, oděvů, nátěrů a dalších (Basford 2002). Jedná se o namáhání plošných struktur tvaru zakřivených ploch (Basford 2002). Jednoduchý způsob analýzy této problematiky lze založit na tzv. Young-Laplaceově zákonu (Doubal et al: 2011 a 2014). Principiálně se týká plošných struktur o libovolném zakřivení. Pro jednoduchost se budeme věnovat zakřivení tvaru kulového vrchlíku a válce.

Pokud je plošná struktura vystavena rozdílu tlaků P mezi vnitřním a vnějším povrchem, vzniká zakřivení o poloměru křivosti R (viz obr. 5). Pro napětí T v membráně platí:

 

             (4)

V některých případech (trubice, cévy) je tvar tělesa válec, pak platí:

        (5)

kde r je poloměr válce.

Výše uvedené vztahy platí pro tenké a plošné struktury, jejichž tloušťka d je mnohem menší než poloměr křivosti R.

Napětí T je síla F na délku L:

        (6)

Mechanické napětí σ v membráně je tedy (viz obr. 5):

       (7)

 

Obr. 5 Vznik mechanického napětí v membráně pod vlivem zakřivení.

 

Po spojení vztahů (6 a 7) dostáváme:

          (8)

a také

           (9)

kde A je příčná plocha vzorku získaného z membrány.

Relativní deformaci lze určit například na základě geometrie vrchlíku (R, s v, obr. 5):

 

Spojení vztahů (9) a (10) dává (statický) modul pružnosti:

                              (10)

Při dynamických měřeních je nutno používat komplexní modul pružnosti (vztah 3).

 

Obr. 6 Deformace membrány složené ze dvou vrstev

 

 

Mechanické přizpůsobení dvou membrán

Pro napětí v membránách platí (vztah 7):

               (11)

a

                  (12)

Podmínka pro mechanické přizpůsobení je:

            (13)

Pokud jde o kontakt membrán o různých modulech, pak pro mechanické přizpůsobení musí být dodržen následující poměr:

     (14)

Takto lze postupovat například v případě řešení mechanického přizpůsobení povrchu těla a oděvů či náplastí. Také při řešení problematiky nátěrů plechů a trubek.

Postup pro situace, kdy tloušťky vrstev nejsou zanedbatelné ve vztahu k poloměru křivosti je složitější, nicméně řešitelný. Postup je uveden v literatuře (Doubal et al 2011).

 

Literatura

 

Basford, J. R.: The law of Laplace and its relevance to contemporary medicine and rehabilitation. Arch Phys Med Rehabil., 2002, 83, 1165-70.

Doubal, S., Klemera, P., Kucharova, M.: Mechanical Behavior of Viscoelastic bodies (in Czech), Prague, Karolinum, 2011.

Doubal S, Klemera P., Kucharova M., Rehackova P., Hradecka A.: Modern methods of characterization of mechanical properties of viscoelastic bodies and mechanical matching of artificial and biological materials. Folia Pharmaceutica, Hradec Králové, 2014.