Rampová charakteristika v mechanice
Klíčová slova: rampová charakteristik; strain-stress křivky;
Úvod
Pro hodnocení mechanických vlastností těles a materiálů se často používají tzv. pracovní diagramy, označované také jako strain-stress křivky. Mnohdy se také používají pro hodnocení viskoelastických těles, jako jsou plasty nebo biologické struktury. Pracovní diagramy jsou ve své podstatě statické charakteristiky, udávající závislost síly na deformaci v ustálených podmínkách.
Pracovní diagramy se však často zjišťují na základě měření závislosti deformace na lineárně rostoucí síle, případně na závislosti síly na lineárně rostoucí deformaci. Tedy z odezvy na rampovou funkci (rampové charakteristiky). Takováto měření jsou ovšem dynamická, založená na dynamické charakteristice.
V případě čistě elastických těles je tento postup korektní, výsledky získané z rampové charakteristiky nezávisí na rychlosti růstu vstupní veličiny a odpovídají i výsledkům statických měření zatěžovacích diagramů. U reálných a viskoelastických těles však průběh výstupní veličiny (obvykle deformace) závisí na rychlosti růstu vstupní veličiny (síly).
Abychom mohli posoudit korektnost použití měření rampových charakteristik pro odvození strain-stress křivek u viskoelastických těles, je třeba průběh rampové charakteristiky kvantitativně popsat a kvantifikovat případné a chyby.
Teorie
Rampovou charakteristikou budeme v našem případě rozumět deformační odezvu na lineárně rostoucí namáhání. Určení deformační odezvy je možné z konstitutivní rovnice.
Základní rovnice, která popisuje vztahy mezi vstupem a výstupem u lineárních či linearizovatelných mechanických systémů má následující tvar:
(1)
kde L je deformace, F je síla (namáhání), a* a b* jsou konstantní koeficienty.
Nebo (pro materiály):
(2)
kde ε je relativní deformace, σ je mechanické napětí.
Řešení usnadní, pokud na výše uvedené na vztahy aplikujeme Laplaceovu transformaci. Vztahy nabývají po aplikaci Laplaceovy transformace následující tvary:
(3)
kde p je nová proměnná (místo času t) a L(p), F(p) jsou Laplaceovy obrazy veličin L(t), F(t).
Nebo:
(4)
kde p je nová proměnná (místo času t ) a ε(p), σ(p) jsou Laplaceovy obrazy veličin ε(t), σ(t).
Pokud je měřena rampová charakteristika, je průběh síly (namáhání) znám. V časové oblasti se jedná o průběh
(5)
kde k je směrnice grafu lineárně rostoucího namáhání.
Laplaceův obraz lineárně rostoucí (rampové) funkce je:
(6)
Spojením vztahů (3) a (6) dostáváme:
(7)
Poznámka: Při měření pracovního diagramu (strain-stress křivky) pro ustálené hodnoty deformace je zřejmé, že všechny derivace sil i deformací jsou nulové a platí:
Respektive:
Poměr
H je tuhost ve statickém režimu.
U materiálových parametrů:
kde E modul pružnosti ve statickém režimu.
Poměr namáhání a deformace při dynamickém zatěžování je odlišný od statických ustálených hodnot. Analýza přesnosti měření je obecně obtížná. Je však možné ji jednoduše provést pro tělesa, chovajícího se podle Voigtova modelu. V tomto případě je analýza přesnosti určování pracovního diagramu (včetně určování tuhostí a modulů) pomocí rampové charakteristiky relativně jednoduchá a může sloužit i k odhadu chyby u složitěji se chovajících těles.
Pro Voigtův model platí:
(8)
kde H je statická tuhost (Hookeův koeficient), N je Newtonův koeficient.
Respektive:
(9)
kde E je modul pružnosti, η je viskózní koeficient.
V Laplaceově transformaci:
(10)
Laplaceův obraz deformace je:
(11)
Odezva na rampovou funkci je tedy (viz vztah 6):
(12)
Předchozí vztah lze zapsat také takto:
Výraz v závorce je Laplaceův obraz odezvy na skok síly o velikosti k, tedy přechodové charakteristiky. Využijeme toho, že v Laplaceově transformaci násobení funkce zlomkem odpovídá v časové oblasti integraci.
Odezva na rampovou funkci je tedy integrál přechodové charakteristiky (odezvy na skok) LP.
(13)
Odezva Voigtova modelu na skok namáhání je, jak známo:
(14)
Rampová charakteristika má tedy průběh:
(15)
Pomocné výpočty
Integrál (14) rozdělíme na součet:
Rampová charakteristika Voigtova modelu
Deformační odezva na rampovou funkci je tedy v tomto případě dána vztahem:
(16)
Druhý člen ve výrazu (16) představuje chybu odhadu.
Závěry
Podmínka dobré shody mezi statickým měřením a měřením pomocí rampové charakteristiky je:
Poměr mezi LR a LS pro dobrou shodu by se blížit jedné, rozdíl nule.
Absolutní chyba je dána vztahem:
(17)
Relativní chyba je dána vztahem:
(18)
(19)
Určení minimální doby trvání rampy pro zvolenou (přípustnou) chybu.
Závislost síly na chybě:
(20)
Maximální sílu určíme či odhadneme podle požadavků na měření. Zvolíme přijatelnou chybu a dobu měření. Určíme rychlost rampy (k).
Rychlost rampy musí být dostatečně pomalá, tak aby čas měření byl dostatečně dlouhý.
Rychlost rampy je:
kde F je maximální síla dosažená během měření.
Chyba roste s poměrem N/H tedy s časovou konstantou tělesa. Může být značná. Například při časové konstantě tělesa 10 ms (běžné např. u pryže a měkkých biologických struktur) je při době trvání rampy 1 s chyba cca 1%. U viskóznějších těles rychle roste. Při časové konstantě tělesa 100 ms a při době trvání rampy 1 s chyba cca 11%.