Rampová charakteristika v mechanice

 

Klíčová slova: rampová charakteristik; strain-stress křivky;

 

Úvod

Pro hodnocení mechanických vlastností těles a materiálů se často používají tzv. pracovní diagramy, označované také jako strain-stress křivky. Mnohdy se také používají pro hodnocení viskoelastických těles, jako jsou plasty nebo biologické struktury. Pracovní diagramy jsou ve své podstatě statické charakteristiky, udávající závislost síly na deformaci v ustálených podmínkách.

Pracovní diagramy se však často zjišťují na základě měření závislosti deformace na lineárně rostoucí síle, případně na závislosti síly na lineárně rostoucí deformaci. Tedy z odezvy na rampovou funkci (rampové charakteristiky). Takováto měření jsou ovšem dynamická, založená na dynamické charakteristice.

V případě čistě elastických těles je tento postup korektní, výsledky získané z rampové charakteristiky nezávisí na rychlosti růstu vstupní veličiny a odpovídají i výsledkům statických měření zatěžovacích diagramů. U reálných a viskoelastických těles však průběh výstupní veličiny (obvykle deformace) závisí na rychlosti růstu vstupní veličiny (síly).

Abychom mohli posoudit korektnost použití měření rampových charakteristik pro odvození strain-stress křivek u viskoelastických těles, je třeba průběh rampové charakteristiky kvantitativně popsat a kvantifikovat případné a chyby.

 

Teorie

Rampovou charakteristikou budeme v našem případě rozumět deformační odezvu na lineárně rostoucí namáhání. Určení deformační odezvy je možné z konstitutivní rovnice.

Základní rovnice, která popisuje vztahy mezi vstupem a výstupem u lineárních či linearizovatelných mechanických systémů má následující tvar:

        (1)

kde L je deformace, F je síla (namáhání), a* a b* jsou konstantní koeficienty.

Nebo (pro materiály):

      (2)

kde ε je relativní deformace, σ je mechanické napětí.

Řešení usnadní, pokud na výše uvedené na vztahy aplikujeme Laplaceovu transformaci. Vztahy nabývají po aplikaci Laplaceovy transformace následující tvary:

   (3)

kde p je nová proměnná (místo času t) a L(p), F(p)  jsou Laplaceovy obrazy veličin L(t), F(t).

Nebo:

           (4)

kde p je nová proměnná (místo času t ) a ε(p),  σ(p)  jsou Laplaceovy obrazy veličin ε(t), σ(t).

 

Pokud je měřena rampová charakteristika, je průběh síly (namáhání) znám. V časové oblasti se jedná o průběh

                     (5)

kde k je směrnice grafu lineárně rostoucího namáhání.

 

Laplaceův obraz lineárně rostoucí (rampové) funkce je:

                     (6)

Spojením vztahů (3) a (6) dostáváme:

     (7)

 

Poznámka: Při měření pracovního diagramu (strain-stress křivky) pro ustálené hodnoty deformace je zřejmé, že všechny derivace sil i deformací jsou nulové a platí:

Respektive:

Poměr

 

H je tuhost ve statickém režimu.

U materiálových parametrů:

 

 

 kde E modul pružnosti ve statickém režimu.

 

Poměr namáhání a deformace při dynamickém zatěžování je odlišný od statických ustálených hodnot. Analýza přesnosti měření je obecně obtížná. Je však možné ji jednoduše provést pro tělesa, chovajícího se podle Voigtova modelu. V tomto případě je analýza přesnosti určování pracovního diagramu (včetně určování tuhostí a modulů) pomocí rampové charakteristiky relativně jednoduchá a může sloužit i k odhadu chyby u složitěji se chovajících těles.

Pro Voigtův model platí:

 

                                                                            (8)

kde H je statická tuhost (Hookeův koeficient), N je Newtonův koeficient.

Respektive:

                                                                                   (9)

kde E je modul pružnosti, η je viskózní koeficient.

 

V Laplaceově transformaci:

                                                      (10)

Laplaceův obraz deformace je:

                                                      (11)

Odezva na rampovou funkci je tedy (viz vztah 6):

                                                         (12)

Předchozí vztah lze zapsat také takto:

Výraz v závorce je Laplaceův obraz odezvy na skok síly o velikosti k, tedy přechodové charakteristiky. Využijeme toho, že v Laplaceově transformaci násobení funkce zlomkem  odpovídá v časové oblasti integraci.

Odezva na rampovou funkci je tedy integrál přechodové charakteristiky (odezvy na skok) LP.

         (13)

Odezva Voigtova modelu na skok namáhání je, jak známo:

            (14)

Rampová charakteristika má tedy průběh:

 (15)

 

Pomocné výpočty

Integrál (14) rozdělíme na součet:     

 

   

                                        

 

Rampová charakteristika Voigtova modelu

Deformační odezva na rampovou funkci je tedy v tomto případě dána vztahem:

              (16)

Druhý člen ve výrazu (16) představuje chybu odhadu.

 

Závěry

Podmínka dobré shody mezi statickým měřením a měřením pomocí rampové charakteristiky je:

Poměr mezi LR a LS  pro dobrou shodu by se blížit jedné, rozdíl nule.

Absolutní chyba je dána vztahem:

  (17)

Relativní chyba je dána vztahem:

   (18)

                                                                                                                                  (19)

                                                                           

Určení minimální doby trvání rampy pro zvolenou (přípustnou) chybu.

Závislost síly na chybě:

 

        (20)

Maximální sílu určíme či odhadneme podle požadavků na měření. Zvolíme přijatelnou chybu a dobu měření. Určíme rychlost rampy (k).

Rychlost rampy musí být dostatečně pomalá, tak aby čas měření byl dostatečně dlouhý.

Rychlost rampy je:

kde F je maximální síla dosažená během měření.

Chyba roste s poměrem N/H tedy s časovou konstantou tělesa. Může být značná. Například při časové konstantě tělesa 10 ms (běžné např. u pryže a měkkých biologických struktur) je při době trvání rampy 1 s chyba cca 1%. U viskóznějších těles rychle roste. Při časové konstantě tělesa 100 ms a při době trvání rampy 1 s chyba cca 11%.