Fázory

 

Fázory jsou komplexní čísla vyjadřující harmonické funkce, jejichž amplitudy, úhlové frekvence a fáze jsou nezávislé na čase. Někdy se fázor označuje jako rotující vektor. Použití fázorů je významné zejména pro řešení vztahů mezi harmonickými průběhy vstupních a výstupních veličin u lineárních fyzikálních systémů. Mimo jiné u elektrických obvodů a v mechanice. Jejich zavedení umožňuje rozšíření aplikačních možností Fourierovy transformace a řešení problematiky dynamického chování lineárních systémů pomocí Fourierových trigonometrických řad.

 

Teorie

Definice fázoru

Pro fázory platí definiční vztah:

                                                (1)

Protože platí Eulerův vztah:

                                                (2)

Platí také:

                    (3)

Vztahy mezi fárory a harmonickými funkcemi

 

                                       (4)

                                                                                                                (5)

 


Obr. Fázor v komplexní rovině t = 0. 

 

 

Fázory a Fourierova transformace

 

Fázory a konstitutivní diferenciální rovnice.

Konstitutivní rovnice pro vztahy mezi deformacemi a silami pro lineární systémy je lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Pokud průběh vstupní veličiny známe, pak platí:

,             (6)

kde proměnné jsou funkcemi času.

V případě, že koeficienty a jsou konstanty a výstupní veličina je fázor Y(iω), lze rovnici (6) přepsat takto:

          (7)

Resp.:

.            (8)

Resp.:

                           (9)

 

 

Protože součet fázorů je opět fázor.

 

Fourierova transformace a konstitutivní diferenciální rovnice.

Pokud aplikujeme Fourierovu transformaci na rovnici konstitutivní (6) dostáváme vztah formálně shodný se vztahem (7):

           (10)

kde Y*(iω) a X*(iω) jsou Fourierovy obrazy odpovídajících veličin.

Poměr vstupních a výstupních fázorů odpovídají poměru Fourierových obrazů.

Poznámka:Po matematické stránce není korektní aplikovat Fourierovu transformaci pro harmonické průběhy veličin (harmonické funkce neodpovídají podmínkám pro aplikaci Fourierovy transformace). Nicméně pro fázory platí, že poměr fázorů odpovídá poměru Fourierových obrazů vstupních a výstupních veličin.