Dynamické mechanické chování těles a materiálů

 

Souhrn

Kvantifikace dynamického mechanického chování těles a materiálů je obecnějším popisem viskoelaticity.

Tradiční metody popisu viskoelastického chování těles vycházejí z tzv. reologických modelů. Postupně se, zejména v souvislosti s pokrokem v měřicích metodách, ukazuje, že reologické modely viskoelasticity nejsou dostatečně přesnou ani dostatečně obecnou aproximaci reálného mechanického chování. Moderněji se proto začíná používat metoda založená na měření a vyhodnocování tzv. komplexních modulů a komplexních tuhostí. Avšak ani tato metoda není dostatečně obecná. Jedná o totiž o popis relací při harmonickém (sinusovém) zatěžování. Přechod k chování při jiném průběhu zatěžování (například skokem síly) je sice možný, ale je těžkopádný a složitý.

Skutečně obecnou metodu je třeba hledat v diferenciální rovnici popisující relace mezi zatěžováním a deformacemi.

Prakticky je ovšem nejprve třeba (u konkrétního tělesa či materiálu) určit parametry této rovnice na základě experimentálního měření (řešit tzv. inversní problém). Po určení těchto parametrů je teoreticky možné vypočítat průběh deformační odezvy na libovolný průběh zatěžovací síly (řešit tzv. přímý problém). Řešit oba tyto problémy klasickým způsobem je však teoreticky i experimentálně velmi náročné.

Metodologie fy DELTER  je založena na využití prakticky schůdných postupů známých z teorie lineárních systémů a aplikaci operátorového počtu. Tato metodika je již desítky let úspěšně používaná pro řešení elektrických obvodů a řešení chování regulovaných soustav. Po vhodné modifikaci a doplnění ji používáme pro konstrukci našich přístrojů a pro řešení analýzy dynamického mechanického chování těles, soustav těle a materiálů.

 

Úvod

Pro jednoduchost budeme mechanickým chováním těles rozumět závislost deformace na zatěžující sile. Této problematice se rozsáhle věnuje řada oborů například „Pružnost a pevnost“, „Statika“, „Teorie kontinua“, „Teorie konečných prvků“ a řada dalších.

Ve většině případů je teorie založena na analýze chování v ustálených stavech, tedy v situaci, kdy je zatěžující síla konstantní.

Jinými slovy, je dobře zpracovaná teorie statického chování těles a materiálů.

Na druhou stranu, problematika dynamického chování není teoreticky doposud uspokojivě vyřešena. Často se předpokládá, že dynamické chování je možné odvodit z chování statického. V mnoha případech to však možné není. Pak se používají málo obecné empirické postupy, případně ad hoc navrhované modely. Podobně neuspokojivě je dosud řešena problematika měření dynamického chování těles.

Řešení problematiky dynamického mechanického chování těles nabízí využití teorie lineárních dynamických systémů. Tato metoda se dlouhodobě a úspěšně používá při řešení lineárních elektrických obvodů a v regulační technice. V mechanice se však tato metoda používá jen okrajově a málo důsledně.

 

Statické chování těles a materiálů

 

Popis statického chování těles a materiálů

 


Obr. 1 Statické chování elastického tělesa (homogenní rovnoměrné tyče délky L a plochy průřezu S)

 

Tradičně se vychází se z jednoduché situace podle obr. 1. Tyč klidové délky L se zatíží konstantní silou F. Těleso se následně zdeformuje o ΔL.

Při malých deformacích se tělesa zpravidla chovají jako tělesa lineárně elastická. Pak platí vztah (1), která se označuje jako Hookeův zákon.

  (1)

kde H je tuhost tělesa, označovaná také jako Hookeúv člen nebo Hookeův koeficient. H je konstanta.

 

Lineárně elastická tělesa se chovají jako pružina (viz obr. 2). Koeficient H je v tomto případě konstanta pružiny.

 

Obr. 2 Mechanické chování pružiny jako modelu lineárně elastického tělesa.

 

Hookeův zákon v původní podobě (vztah 1) tedy popisuje chování konkrétního tělesa. Je ovšem daleko praktičtější přejít k popisu chování materiálů. Postupuje se tak, že se odvodí vztahy pro tyč jednotkových rozměrů. Z těchto důvodů se definuje tzv. mechanické napětí σ (stress) takto:

  (2)

Mechanické napětí je síla na normálovou plochu průřezu (vlastně tlak).

Dále se definuje relativní deformace ε (strain) takto:

   (3)

Hookeův zákon pro materiály se uvádí takto:

           (4)

kde E je modul pružnosti. Modul pružnosti je materiálová konstanta lineárně elastických materiálů při statickém zatěžování.

Tento postup má výhodu v tom, že znalost materiálových parametrů (v tomto případě je jediným materiálovým parametrem modul E) umožňuje vypočítat deformaci tělesa libovolných rozměrů při libovolném zatěžování.

 

Dynamické chování těles a materiálů

 

Obr. 3 Dynamické chování elastického tělesa

 

Předpokládejme, že zatěžující síla se mění harmonicky, tedy podle sinusovky (viz obr. 3). Síla má tedy tento průběh:

 

    (5)

Pokud by platil vztah (1), měla by být deformace dána vztahem (6)

    (6)

Což pro reálná tělesa není správný závěr. Bohužel, často je řešení dynamického chování reálných těles na tomto předpokladu založeno.

 

Komentář

Při statickém zatěžování závisí deformace pouze na tuhosti (H) tělesa. Rovnováha sil při statickém namáhání je dána rovností deformující síly a elastické síly. To je vyjádřeno vztahem (1). Při dynamickém zatěžování reálných těles musí však zatěžující síla ještě překonávat síly vnitřního tření (které jsou při statickém zatěžování nulové) a setrvačné síly (které jsou při statickém zatěžování rovněž nulové).

Důsledkem je, že deformace je menší, než by odpovídalo statickému zatěžování. Jiný praktický důsledek spočívá ve skutečnosti, že deformační odezva se jakoby „opožďuje“ za zatěžováním.

 

Vliv vnitřního tření (viskózní složky mechanického chování) na dynamické chování

Zhruba před 100 léty fyzikové zjistili (patrně v souvislosti s pokrokem v měřicích metodách), že je rozdíl mezi chováním statickým a dynamickým. Tyto rozdíly jsou nejvíce patrné u těles, kterým se dodnes říká viskoelastická tělesa. Zavedl se předpoklad, že dynamické chování závisí nejen na elastických vlastnostech (viz vztah 1 a 4), ale i na tzv. vlastnostech viskózních. Viskozita je vnitřní tření v tělesech (kapalinách i v pevných tělesech). Vnitřní tření roste s rychlostí deformace a také s frekvencí zatěžování, podobně jako u tlumičů používaných v technice.

Prvním krokem v hledání popisu dynamického chování reálných těles bylo navržení tzv. Voigtova (Kelvinova) modelu (obr. 4). Tento model je založen na předpokladu, že dynamické chování odpovídá chování „ paralelní“ kombinace pružiny a tlumiče (obr. 4). Dodnes se tento model (bohužel) používá.

 

 

 

Obr. 4 Voigtův model elastického tělesa

 

Rovnice popisující chování Voigtova modelu pro tělesa je tato:

    (7)

Pro materiály se (ne zcela korektně) uvádí:

    (8)

kde η je viskozita (proč je to nekorektní, je vysvětleno v monografii)

 

V souvislosti s dalším pokrokem v měřicích metodách se brzy zjistilo, že tento model v mnoha případech neodpovídá realitě. Byly proto navrženy další viskoelastické (reologické) modely. Například Maxwellův, Zenerův a mnoho dalších.

Komentář

Veškeré, takto konstruované modely nemohou principiálně být dostatečně obecnou aproximací reálného chování. Důvody jsou dva: 1)Modely neberou v úvahu setrvačné síly v tělesech. 2) Modely předpokládají, že elastické i viskózní chování je možné soustředit do několika dílčích těles (Hookeových a Newtonových). V realitě jsou však parametry v těleso rozloženy v celém prostoru, které těleso zaujímá.

 

Vliv hmotnosti (setrvačné složky mechanického chování) na dynamické chování

Setrvačné síly jsou dány Newtonovým zákonem setrvačnosti: 

Rostou úměrně se zrychlením deformace a také (u harmonického zatěžování) se čtvercem frekvence. Viskoelastické modely by se tedy měly doplnit ještě o setrvačný člen (např. podle obr. 5).

 

Obr. 5 Voigtův model se setrvačným členem

Komentář

Vliv setrvačného členu je významný u větších (delších) těles a při rychlých změnách či vyšších frekvencích. I modely se setrvačným členem nejsou však úplně obecnou aproximací reality, protože se opět jedná o modely se soustředěnými parametry.

 

 

 

 

 

Popis dynamického chování pomocí komplexních tuhostí a komplexních modulů

Použití komplexních tuhostí a komplexních modulů umožňuje kvantifikovat dynamické chování bez ohledu na strukturu tělesa či modelu.

Komplexní tuhost určuje vztah mezi silami, majícími harmonický průběh a deformacemi, které mají rovněž harmonický průběh. Komplexní modul určuje vztah mezi mechanickými napětími a relativními deformacemi. Tyto relace jsou frekvenčně závislé a měření i výpočty se musí provádět pro co největší počet frekvencí.

Poznámka: Komplexní moduly se obvykle považují za materiálové parametry, což není zcela přesné. Vztah mezi komplexní tuhostí a komplexním modulem je dán geometrii a hustotou tělesa, ale obvykle se určuje komplexní modul pouze z geometrie tělesa. Takže pokud je pro materiál udáván pouze komplexní modul, přechod ke komplexní tuhosti není jednoznačný.

Přímá metoda měření

Klasická metoda je založena na přístrojích DMA (dynamic mechanical analyzers), z metrologického hlediska se jedná o tzv. přímou metodu, tedy metodu vycházející z definice měřených veličin. Měří se poměr amplitud sil a deformací a jejich fázový posun viz obr. 6). Podle poměrně jednoduchých vzorců se určí komplexní tuhost a komplexní modul.

 


Obr. 6. Ilustrace k měření komplexních tuhostí a komplexních modulů metodou DMA

 

Nejčastěji se udává konzervativní modul (storage modulus), což je reálná část komplexního modulu a ztrátový modul loss modulus), což je imaginární část komplexního modulu.

Poznámka: Měření prováděná touto přímou metodou jsou náročná na citlivost měření. Deformační odezvy jsou totiž obvykle velmi malé. Technický problém je i přesné generování harmonických průběhů zatížení pro dostatečný počet frekvencí. Celková technická náročnost přístroje zdražuje a princip metody omezuje přesnost měření.

 

Resonanční metoda měření

Firma DELTER vyvinula resonanční metodu (RMA) měření komplexních tuhostí a komplexních modulů. Tato metoda je založena na mechanické resonanci a odstraňuje některé nedostatky konvenční metody DMA. Resonanční metody jsou obecně citlivější a často přesnější než metody přímé. Přístroje RMA jsou proto citlivější, uživatelsky jednodušší a levnější než konvenční přístroje typu DMA.

 

Teoretická východiska metodologie DELTER 

Používáme metodiku založenou na využití postupů známých z teorie lineárních systémů a aplikaci operátorového počtu. Tato metodika je již desítky let úspěšně používaná pro řešení elektrických obvodů a řešení chování regulovaných soustav. Po vhodné modifikaci a doplnění ji používáme pro konstrukci našich přístrojů a pro řešení analýzy dynamického mechanického chování těles, soustav těle a materiálů.

Základním principem je určení diferenciální rovnici popisující relace mezi zatěžováním a deformacemi a její využití pro popis viskoelasticity.

Dalším výsledkem našich analýz je řešení dynamického chování těles jako problematiku šíření mechanické vlny. Tento přístup je přínosem pro řešení vlastních kmitů soustav.