Dynamická mechanická analýza

Úvod

Smyslem dynamické mechanické analýzy (DMA) je kvantifikace vztahů mezi deformacemi a deformujícími silami v situacích, kdy se tyto veličiny mění v čase. Z praktického hlediska se jedná o zásadní problém, protože v reálných situacích jsou tělesa téměř vždy, ve větší či menší míře, namáhána dynamicky. Klasický popis vztahů mezi silami a deformacemi, jak jej poskytuje teorie pružnosti a pevnosti, je popis statický, tedy popis těchto relací v ustálených stavech. Nelze jej bez závažnějších chyb použít zejména u tzv. visoelastických těles, jako jsou guma či plasty. 

Zcela obecně lze pro popis dynamického mechanického chování těles použít diferenciální rovnice, popisující vztah mezi dynamikou vstupní veličiny a dynamikou výstupní veličiny. V zásadě se jedná o nelineární diferenciální rovnice, jejichž řešení je obtížné. Obvykle proto využíváme metodiku linearizace. Vztahy mezi silami a deformacemi považujeme za po úsecích lineární. Konstitutivní rovnice pak přejdou na obyčejné lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. K popisu mechanického chování lineárních (a po úsecích lineárních) mechanických dynamických systému lze v tomto případě využít metodiku harmonické analýzy (Ďoubal 2011) a následně i komplexní moduly a komplexní tuhosti materiálů a těles (viz http://www.viskoelasticita.cz/inpage/komplexni-moduly-a-tuhosti-204-918/ ).

Pro kvantifikaci vztahů mezi deformacemi a deformujícími silami se dosud často vychází z tzv. reologických modelů (například Voigtův model, viz http://www.viskoelasticita.cz/inpage/prehled-viskoelastickych-modelu/ ). DMA používá pro tyto účely zpravidla komplexní moduly a komplexní tuhosti, což je správnější a obecnější.

 

Měřicí přístroje pro DMA

Přímá metoda měření

Přímá metoda měření komplexních modulů a komplexních tuhostí vychází z měření založených přímo na odpovídajících definičních vztazích. Tento způsob měření se někdy, zúženě a poněkud zjednodušeně, označuje jako DMA (viz například http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_mechanical_analysis).

Komplexní dynamická tuhost

Komplexní tuhost S(iω), někdy označovaná také jako komplexní dynamická tuhost, je poměr fázorů sily F(iω) a deformace L(iω)

(1)

Komplexní modul

Komplexní modul E(iω) je poměr fázorů napětí σ(iω) a relativní deformace ε (iω)

(2)

Fázory

Fázory (X(iω) jsou komplexní čísla vyjadřující harmonické funkce, jejichž amplitudy, úhlové frekvence a fáze jsou nezávislé na čase (viz http://www.viskoelasticita.cz/ část fázory). Někdy se fázor označuje jako rotující vektor. Pro fázory platí definiční vztah (i je imaginární jednotka)

(3)

Předchozí vztah lze také přepsat následujícím způsobem

(4)

 

Přímá měření komplexní tuhostí a modulů

Obr. 1 Vztah mezi vstupní veličinou (silou) a výstupní veličinou (deformací) pro harmonické průběhy obou veličin

 

Přímá měření spočívají v porovnání fázorů vstupní veličiny (buď síly, nebo deformace) s průběhem fázoru výstupní veličiny. Technické řešení je principiálně jednoduché. Vstupní veličina se generuje ve formě sinusovky, s volitelnou frekvencí a amplitudou. Výstupní veličina se vhodným způsobem snímá. Průběh výstupní veličiny je rovněž harmonický, ale od průběhu vstupní veličiny se liší amplitudou a fází.

Na obr. 1 je vztah mezi vstupní veličinou (v tomto případě silou) a výstupní veličinou (deformací) pro harmonické průběhy obou veličin.

Průběh vstupní veličiny je

přičemž amplitudu a frekvenci lze volit. Průběh výstupní veličiny je

 

Měříme L0 a φ. Frekvence je u lineárních systémů u obou veličin shodná.

Reálnou část komplexní tuhosti určíme podle vztahu

(5)

Reálnou část komplexního modulu (storage modulus) určíme podle vztahu

(6)

 

Storage modulus, česky konzervativní modul, určuje energii, která se v systému během deformace nemění.

 

Imaginární část komplexní tuhosti určíme podle vztahu

(7)

 

Imaginární část komplexního modulu (loss modulus) určíme podle vztahu

(8)

 

Loss modulus, česky ztrátový modul, určuje energii, která se v systému během deformace mění v teplo.

 

Poměr energie, která se v systému během deformace ztrácí a energie, která zůstává v systému zachována je loss factor

(9)

 

Loss factor, česky ztrátový faktor či ztrátový úhel, určuje poměr energie, která se v systému během deformace ztrácí a energie, která zůstává v systému zachována. Je měřítkem vlivu viskózní složky na chování materiálu.

 

Technické poznámky

1)Vstupní veličinou může být i deformace, snímá se pak odpovídající síla.

2) Přímá metoda nabízí přehlednou teorii. Z technického hlediska je však spojena s následujícími problémy:

            odstranění systematických chyb vlivem hmotnosti snímačů

            dostatečná citlivost snímání a dosažení dostatečného odstupu signálu od šumu u snímání

            dostatečná přesnost generátoru vstupní veličiny

            dostatečný frekvenční rozsah frekvencí

 

Resonanční metoda měření

Resonanční metoda řeší některé technické problémy, uváděné výše a také poměrně vysokou cenu přístrojů DMA na trhu. Podrobnosti lze nalézt v http://www.viskoelasticita.cz/ v části Resonanční měření viskoelasticity.

 

Literatura

 

Ďoubal S. a kol.: Mechanické chování viskoelastických těles, teorie a měření, Karolinum, Praha, 2011

 

http://www.viskoelasticita.cz/

 

http://www.viskoelasticita.cz/inpage/komplexni-moduly-a-tuhosti-204-918/ ).

 

http://www.viskoelasticita.cz/inpage/prehled-viskoelastickych-modelu/

 

http://www.viskoelasticita.cz/inpage/prehled-viskoelastickych-modelu/

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_mechanical_analysis

 

http://www.viskoelasticita.cz/ část fázory